(教案)第2章 2.2 2.2.4 均值不等式及其应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 学习任务目标 1．理解均值不等式的内容及其证明过程． 2．能熟练地运用均值不等式求最值． 3．能初步运用均值不等式来证明简单的不等式． 如图，AB是圆的直径，O为圆心，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，OD． (1)如何用a，b表示OD? (2)如何用a，b表示CD? (3)OD与CD的大小关系怎样？ 提示：(1)OD＝；(2)CD＝；(3)OD≥CD． 知识点一　算术平均值与几何平均值 (1)条件：给定两个正数a，b． (2)结论：叫做正数a，b的算术平均值；叫做正数a，b的几何平均值． [微训练] 2和4的算术平均值是3，几何平均值是2． 知识点二　均值不等式 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)结论：≥． (3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时． (4)语言描述：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值． (5)几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)均值不等式成立的条件“a，b>0”不能省略． (　　) √　提示：不能省略条件“a，b>0”． (2)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　) ×　提示：任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立． (3)若a≠0，则a＋≥2＝2． (　　) ×　提示：只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立． 知识点三　均值不等式与最大(小)值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值(简记：和定积有最大值)． (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2(简记：积定和有最小值)． [微训练] 设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 C　解析：因为x＞0，y＞0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81． 对均值不等式的理解 探究1：均值不等式≥成立的条件是什么？ 提示：成立的条件为a>0，b>0，且当a＝b时等号成立． 探究2：均值不等式还有其他的变形吗？ 提示：常见的变形形式有： (1)a>0，b>0，ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)a，b∈R，ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)a，b∈R，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．给出下面三个推导过程： ①若a，b为正实数，则＋≥2＝2； ②若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4； ③若x，y∈R，xy＜0，则＋＝－≤－2＝－2． 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ B　解析：①因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②因为a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，所以＋a≥2＝4是错误的； ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 2．下列命题中正确的是(　　) A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2 B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4 C．当a＞4时，a＋的最小值是6 D．当a＞0，b＞0时，≥ B　解析：A中，可能＜0，所以不正确；B中，因为a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，相乘得(a＋b)·≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C中，a＋≥2＝6中的等号不成立，所以不正确；D中，由均值不等式知，≤(a＞0，b＞0)，所以不正确． 3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D．<a<<b B　解析：因为0<a<b，所以0<<，所以a<，同样由0<a<b得<，所以<b，由均值不等式可得，<．综上，a<<<b． 4．已知a＞1，则，，三个数的大小关系是(　　) A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜≤ C　解析：当a，b是正数时， ≤≤≤ ， 令b＝1，得≤≤． 又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号．故选C． 利用均值不等式求最值 【例1】已知0<x<，求代数式x(1－3x)的最大值． 解：因为0<x<，所以1－3x>0． 所以x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤＝， 当且仅当x＝时，等号成立， 因此x(1－3x)的最大值为． 【例2】已知x<0，则3x＋的最大值为________． －12　解析：因为x<0，所以－x>0． 则3x＋＝－≤－2＝－12，当且仅当＝－3x，即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12． 【类题通法】 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略