(教案)第2章 2.2 2.2.3 一元二次不等式的解法-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.2.3　一元二次不等式的解法 学习任务目标 1．理解一元二次不等式的定义． 2．能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式． 3．了解简单的分式不等式，并会求其解集． 下列不等式中，哪些是一元二次不等式(其中a，b，c，m为常数)? (1)ax2>0；(2)x3＋5x－6≥0；(3)－x－x2≤0；(4)x2>0；(5)mx2－5y>0；(6)ax2＋bx＋c≤0；(7)x－>0． 提示：(1)(2)(5)(6)(7)不是；(3)(4)是． 知识点一　一元二次不等式的概念 形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． [微训练] ①x2＋x＋1<0，②－x2－4x＋5≤0，③x＋y2＋1>0，④mx2－5x＋1>0，⑤－x3＋5x≥0，⑥(a2＋1)x2＋bx＋c>0(m，a∈R)．其中关于x的不等式是一元二次不等式的是__________．(请把正确的序号都填上) ①②⑥　解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x2的系数含有字母，但a2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥． 知识点二　一元二次不等式的解法 (1)因式分解法： 如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． (2)配方法： 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，再由k值情况，可得原不等式的解集，如表： k>0 k＝0 k<0 (x－h)2>k 转化为|x－h|>，解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞) (－∞，h)∪ (h，＋∞) R (x－h)2<k 转化为|x－h|<，解集为(h－，h＋) ∅ ∅ [微训练] 1．不等式x2－2x－3≥0的解集为(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．[－3，1] B　解析：不等式x2－2x－3≥0化为(x＋1)(x－3)≥0，解得x≤－1或x≥3，所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 2．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} B　解析：方法一：由x2－x－2>0，左边因式分解得(x＋1)(x－2)>0，解得x<－1或x>2，则A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}． 方法二：由x2－x－2>0，左边配方可得－>0，即>，两边开方得>， 所以x>2或x<－1，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}． 知识点三　分式不等式的解法 1．分式不等式的概念 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式＞0(≥0)或＜0(≤0)． 2．将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解变形1 同解变形2 >0 >0⇔或 >0⇔y1y2>0 <0 <0⇔或 <0⇔y1y2<0 ≥0 或 ≥0⇔ ≤0 或 ≤0⇔ 这里的y1，y2为整式，且y2不为0． [微训练] 已知a>0>b，则不等式a>>b等价于(　　) A．<x<0或0<x< B．－<x<0或0<x<－ C．x<或x> D．－<x<－ C　解析：因为a>>b，所以ax2>x>bx2(x≠0)．又a>0>b，由ax2>x可得x<0或x>，由x>bx2可得x>0或x<，求交集可得，x<或x>． 简单一元二次不等式的解法 1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为(　　) A．{x|x＜－2或x＞－1} B．{x|－2＜x＜－1} C．{x|x＜1或x＞2} D．{x|1＜x＜2} D　解析：原不等式变形为(x－1)(x－2)＜0，所以1＜x＜2．故原不等式的解集为{x|1＜x＜2}． 2．不等式x2－2x－5>2x的解集是________． {x|x>5或x<－1}　解析：由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0．因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，所以x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}． 3．不等式－x2＋6x－10>0的解集为______． ∅　解析：原不等式可化为x2－6x＋10<0．因为Δ＝36－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0没有实数根．所以原不等式的解集为∅． 4．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则