(教案)第2章 2.2 2.2.2 不等式的解集-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.2.2　不等式的解集 学习任务目标 1．了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集． 2．理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法． 3．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c． 方程|x|＝3的解是什么？ 提示：方程|x|＝3的解是x＝±3． 知识点一　不等式的解、不等式的解集及不等式组的解集的概念 (1)能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解． (2)一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． (3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． [微训练] 1．不等式3x＞4x－6的解集为(　　) A．{x|x＞6} B．{x|x＜6} C．[6，＋∞) D．(－∞，6] B　解析：原不等式移项、合并同类项，得－x＞－6，两边同时乘以－1，得x＜6． 2．不等式组的解集为________． 　解析：由－x＋2＞0，解得x＜2，由2x＋1＞0，解得x＞－．不等式组的解集为它们的交集，故－＜x＜2，即解集为． 知识点二　绝对值不等式 1．定义：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2．含绝对值不等式的解法 (1)|x|＝ (2)当m＞0时，|x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，|x|≤m的解集为[－m，m]． [微训练] 1．不等式|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，则a，b的值分别是(　　) A．a＝3，b＝6 B．a＝－3，b＝9 C．a＝6，b＝3 D．a＝－3，b＝6 A　解析：不等式|x－a|＜b，等价于－b＜x－a＜b，等价于a－b＜x＜a＋b，再根据不等式|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，可得a－b＝－3，a＋b＝9，求得a＝3，b＝6，故选A． 2．不等式|x＋1|<5的解集为__________． (－6，4)　解析：由|x＋1|<5，得－5<x＋1<5，解得－6<x<4． 知识点三　数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|a－b|，记作AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝，这就是数轴上的中点坐标公式． [微训练] 若A(5)，B(7)，则AB＝________，AB的中点坐标为________． 2　6　解析：AB＝|7－5|＝2，AB的中点坐标为6． 解不等式(组) 1．一元一次不等式组的解集是(a，＋∞)，则a与b的关系为(　　) A．a≥b B．a>b C．a≤b D．a<b A　解析：因为不等式组的解集是(a，＋∞)，所以a≥b． 2．已知关于x的不等式组的解集是∅，则a的取值范围是(　　) A．a<9 B．a>9 C．a≥9 D．a≤9 A　解析： 解不等式①，得x≤，解不等式②，得x≥3． 因为原不等式组的解集是∅， 所以<3，解得a<9． 3．解不等式1≤＜2x＋． 解：原不等式可化为下面的不等式组 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＞， 所以原不等式的解集为． 解绝对值不等式 【例1】解不等式3≤|x－2|<4． 解：原不等式等价于 由①，得x－2≤－3或x－2≥3， 所以x≤－1或x≥5． 由②，得－4<x－2<4，所以－2<x<6． 如图所示， 原不等式的解集为{x|－2<x≤－1或5≤x<6}． 【例2】解不等式|x＋7|－|x－2|≤3． 解：(方法一)|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1(如图所示)． 从图中易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解集为{x|x≤－1}，即x∈(－∞，－1]． (方法二)令x＋7＝0，x－2＝0，得x＝－7，x＝2． ①当x<－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3， 所以－9≤3成立， 所以x<－7． ②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2， 所以x≤－1，所以－7≤x≤－1． ③当x>2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3，不成立， 所以x∈∅． 综上可知，原不等式的解集为(－∞，－1]． (方法三)将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，即y＝ 作出函数的图象(如图)， 从图中可知，当x≤－1时，有y≤0， 即|x＋7|－|x－2|－3≤0， 所以原不等式的解集为(－∞，－1]． 【类题通法】 (1)形如|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式： |x|＜a⇔－a＜x＜a． |x|＞a⇔