(教案)第2章 2.2 2.2.1 不等式及其性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 学习任务目标 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．会用比较法比较两实数的大小． 3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 4．掌握综合法、分析法、反证法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法、反证法证明简单问题． 等式有下面的基本性质： (1)性质1：如果a＝b，那么b＝a； (2)性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)性质4：如果a＝b，那么ac＝bc； (5)性质5：如果a＝b，c≠0，那么＝． 知识点一　不等关系与不等式 1．不等式的定义 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 2．比较两个实数(代数式)的大小 作差法的理论依据： a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＞0⇔a＞b． [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2． (　　) √　提示：不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2． (2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种． (　　) √　提示：任意两数之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种，没有其他大小关系． (3)已知M＝2x2＋5x＋3，N＝x2＋4x＋2，则M<N． (　　) ×　提示：M＝2x2＋5x＋3，N＝x2＋4x＋2，M－N＝(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋>0，故M>N． 知识点二　不等式的性质 1．不等式的性质 (1)性质1(可加性)：a＞b⇒a＋c＞b＋c． (2)性质2(可乘性)：⇒ac＞bc． (3)性质3(可乘性)：⇒ac＜bc． (4)性质4(传递法)：a＞b，b＞c⇒a＞c． (5)性质5(对称性)：a＞b⇔b＜a． 2．不等式性质的推论 (1)推论1(移项法则)：a＋b＞c⇒a＞c－b． (2)推论2(同向可加性)：⇒a＋c＞b＋d． (3)推论3(同向同正可乘性)：⇒ac＞bd． (4)推论4(正数乘方性)：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1)． (5)推论5(正数开方性)：a＞b＞0⇒＞． [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d． (　　) √　提示：因为c＜d，所以－c＞－d，又a＞b． 所以a－c＞b－d． (2)若a＞b，则＜． (　　) ×　提示：因为a＞b，若a＞0，b＜0，则＞，故＜错误． (3)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞． (　　) √　提示：因为c＞d＞0，所以＞＞0，又因为a＞b＞0，所以＞． (4)已知a＞b，e＞f ，c＞0，则f －ac＜e－bc． (　　) √　提示：因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故－ac＜－bc，又因为e＞f ，即f ＜e，所以f －ac＜e－bc． 知识点三　证明方法 (1)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． (2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． (3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． [微训练] 将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0，由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立． 作差法比较大小 1．设实数a＝－，b＝－1，c＝－，则(　　) A．b>a>c B．c>b>a C．a>b>c D．c>a>b A　解析：－＝，－1＝，－＝，因为＋1<＋<＋， 所以>>，即b>a>c． 2．已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是(　　) A．t>s B．t≥s C．t<s D．t≤s D　解析：t－s＝4b－b2－4＝－(b－2)2≤0，故t≤s． 3．已知x，y∈R，P＝2x2－xy＋1，Q＝2x－，则P与Q的大小关系为________． P≥Q　解析：因为P－Q＝2x2－xy＋1－＝x2－xy＋＋x2－2x＋1＝＋(x－1)2≥0，所以P≥Q． 利用不等式的性质判断命题的真假 1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　) A．< B．< C．