(教案)第2章 2.1 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学习任务目标 1．理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集． 2．掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数． 3．掌握一元二次方程根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值． 关于x的一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的情况是(　　) A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 C　解析：因为x2＋x＋1＝0， 所以Δ＝12－4×1×1＝－3<0， 所以该方程无实数根． 知识点一　一元二次方程的定义 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0． [微训练] (多选题)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　) A．当m＝0时，方程只有一个实数根 B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根 C．当m＝－1时，方程没有实数根 D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根 AB　解析：当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确； 当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确； 当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6＞0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误； 当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，所以此时方程无实数根，D错误．故选AB． 知识点二　一元二次方程的解法 1．配方法 (1)一般地，方程x2＝t：①当t>0时，解集为{－，}；②当t＝0时，解集为{0}；③当t<0时，解集为∅． (2)一般地，方程(x－k)2＝t：①当t>0时，解集为 {k－，k＋}；②当t＝0时，解集为{k}；③当t<0时，解集为∅． 2．公式法 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅． 3．因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x＋m)·(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n． [微训练] 1．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，将其化为(x＋a)2＝b的形式，正确的是(　　) A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21 C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11 D　解析：因为x2－8x＋5＝0，所以x2－8x＝－5，所以x2－8x＋16＝－5＋16，所以(x－4)2＝11．故选D． 2．用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是(　　) A．5，6，－8 B．5，－6，－8 C．5，－6，8 D．6，5，－8 C　解析：原方程可化为5x2－6x＋8＝0，所以a＝5，b＝－6，c＝8．故选C． 3．已知集合A＝{x|x2－25＝0}，B＝{x|x2－x－30＝0}，则A∩B为(　　) A．{5} B．{－5} C．{5，－5，6} D．∅ B　解析：因为A＝{5，－5}，B＝{x|(x－6)(x＋5)＝0}＝{－5，6}，所以A∩B＝{－5}． 知识点三　一元二次方程根的判别式 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根． [微训练] 若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________． (－∞，4]　解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4． 知识点四　一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝． [微训练] 已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是(　　) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 D　解析：设所求方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则由题意，可得4＋(－5)＝－，4×(－5)＝，即＝1，＝－20，验证四个选项，只有D项符合条件． 一元二次方程的解法 【例1】用直接开平方法求下列一元二次方程的解集． (1)4y2－25＝0； (2)3x2－x＝15－x． 解：(1)移项，得4y2＝25． 两边都除以4，得y2＝． 解得y1＝，