(教案)第2章 2.1 2.1.1 等式的性质与方程的解集-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 学习任务目标 1．了解等式的性质并会应用． 2．会用十字相乘法进行因式分解． 3．会求一元一次方程及一元二次方程的解集． 下列各说法是否正确？ ①若＝，则x＝y； ②若x＝y，则＝； ③若x＋a＝y－a，则x＝y； ④若x＝y，则ax＝by． 提示：①正确；②③④错误． 知识点一　等式的性质 等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c 性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc [微训练] 已知x＝y，则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝．其中正确的有(　　) A．①②③ B．④⑤⑥ C．①③⑤ D．②④⑥ C　解析：①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤＝正确．故选C． 知识点二　恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一． (1)平方差公式、两数和(差)的平方公式． a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(两数和的平方公式)． (a－b)2＝a2－2ab＋b2(两数差的平方公式)． (2)“十字相乘法” 对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab．可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用下图表示， 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． [微训练] 将y2－5y＋4因式分解的结果是(　　) A．(y＋1)(y＋4) B．(y＋1)(y－4) C．(y－1)(y＋4) D．(y－1)(y－4) D　解析：因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D． 知识点三　方程的解集 (1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值． (2)一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． [微训练] 若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为(　　) A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4 B　解析：因为x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，所以4＋5a＋a2＝0，所以(a＋1)(a＋4)＝0，解得a＝－1或a＝－4． 等式性质的应用 对于方程5x－2＝2x－2，甲同学的解题步骤是首先等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，然后等式两边同时除以x，得5＝2． 甲同学的解题过程正确吗？ 提示：不正确，因为等式的性质用错． 1．设x，y，c是实数，则下列说法正确的是(　　) A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则＝ D．若＝，则2x＝3y B　解析：A．两边加不同的数，故A不正确；B．两边都乘以c，故B正确；C．c＝0时，两边都除以c2无意义，故C不正确；D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不正确．故选B． 2．下列由等式的性质进行的变形，错误的是(　　) A．如果a＝3，那么＝ B．如果a＝3，那么a2＝9 C．如果a＝3，那么a2＝3a D．如果a2＝3a，那么a＝3 D　解析：如果a＝3，那么＝，正确，故选项A不符合题意；如果a＝3，那么a2＝9，正确，故选项B不符合题意；如果a＝3，那么a2＝3a，正确，故选项C不符合题意；如果a＝0时，两边都除以a，无意义，故选项D符合题意． 3．(多选题)若3a＝2b，下列各式进行的变形中，正确的是(　　) A．3a＋1＝2b＋1 B．3a－1＝2b－1 C．9a＝4b D．－＝－ ABD　解析：A．因为3a＝2b，所以3a＋1＝2b＋1，正确，符合题意； B．因为3a＝2b，所以3a－1＝2b－1，正确，符合题意； C．因为3a＝2b，所以9a＝6b，故此选项错误，不符合题意； D．因为3a＝2b，所以－＝－，正确，符合题意．故选ABD． 4．在解方程＋x＝时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是(　　) A．2x－1＋6x＝3(3x＋1) B．2(x－1)＋6x＝3(3x＋1) C．2(x－1)＋x＝3(3x＋1) D．(x－1)＋x＝3(x＋1) B　解析：方程左边乘以6后得2(x－1)＋6x，方程右边乘以6后得3(3x＋1)．故选B． 恒等式的