(教案)第1章 1.2 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 学习任务目标 1．能正确写出一个命题的否定，并判断其真假． 2．理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有一个量词的命题进行否定． 3．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 1．全称量词 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 形式 含有全称量词的命题， “对M中任意一个x，q(x)成立”简记为：“∀x∈M，q(x)” 2．存在量词 存在量词 存在一个、至少一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 形式 含有存在量词的命题，“存在M中的元素x，p(x)成立”简记为：“∃x∈M，p(x)” 知识点一　命题的否定 (1)定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“﹁p”，读作“非p”或“p的否定”． (2)结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然． [微训练] (1)“圆周率π是无理数”的否定是圆周率π不是无理数，它是假命题(填“真”或“假”)． (2)“∅是集合A的子集”的否定是“∅不是集合A的子集”，它是假命题(填“真”或“假”)． 知识点二　存在量词命题的否定 存在量词命题p ﹁p 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [微训练] 1．已知命题p：∃x>2，x3－8>0，那么﹁p为(　　) A．∃x>2，x3－8≤0 B．∀x>2，x3－8≤0 C．∃x≤2，x3－8≤0 D．∀x≤2，x3－8≤0 B　解析：已知命题p：∃x>2，x3－8>0，那么﹁p是∀x>2，x3－8≤0． 2．已知命题p：存在k∈R，使得函数y＝(k－3)x＋k的图象不经过定点M，若命题p是假命题，则点M的坐标为________． (－1，3)　解析：因为命题p是假命题，所以﹁p是真命题，即任意k∈R，使得函数y＝(k－3)x＋k的图象经过定点M，易知点M的坐标为(－1，3)． 知识点三　全称量词命题的否定 全称量词命题q ﹁q 结论 ∀x∈M，q(x) ∃x∈M，﹁q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 [微训练] 1．命题p：∀x∈N，|x＋2|≥3的否定为(　　) A．∀x∈N，|x＋2|<3 B．∀xN，|x＋2|<3 C．∃x∈N，|x＋2|≥3 D．∃x∈N，|x＋2|<3 D　解析：命题p：“∀x∈N，|x＋2|≥3”的否定为：∃x∈N，|x＋2|<3． 2．设命题p：所有正方形都是平行四边形，则﹁p为(　　) A．所有正方形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是正方形 C．有的正方形不是平行四边形 D．不是正方形的四边形不是平行四边形 C　解析：“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即﹁p为有的正方形不是平行四边形． 命题的否定 1．(多选题)针对我校某次考试有关的命题p：所有理科学生都会做第1题，那么对命题p的否定正确的是(　　) A．所有理科学生都不会做第1题 B．存在一个理科学生不会做第1题 C．存在一个理科学生会做第1题 D．至少有一个理科学生不会做第1题 BD　解析：由命题的否定可知，对命题p进行否定，选项BD都正确． 2．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：实数的绝对值都大于0； (2)p：菱形的对角线垂直平分； (3)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0． 解：(1)﹁p：实数的绝对值不都大于零．真命题． (2)﹁p：有些菱形的对角线不垂直或不平分．假命题． (3)﹁p：若xy＝0，则x≠0且y≠0．假命题． 全称量词命题与存在量词命题的否定 探究1：如何对全称量词命题进行否定？ 提示：对全称量词命题进行否定． ①将自然语言中的“所有的”“任意一个”等全称量词变为“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可； ②形如“∀x∈M，p(x)”，它的否定为“并非∀x∈M，p(x)”，即“∃x∈M，﹁p(x)”，其中“﹁p(x)”表示“p(x)不成立”． 探究2：如何对存在量词命题进行否定？ 提示：对存在量词命题进行否定． ①将自然语言中的“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变为“不存在一个”“没有一个”等短语即可； ②形如“∃x∈M，p(x)”，它的否定为“不存在x∈M，p(x)”，即“∀x∈M，﹁p(x)”，其中“﹁p(x)”表示“p(x)不成立”． 【例1】写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)p：有些实数的绝对值是正数． (2)q：某些平行四边形是菱形． (3)r：∃x∈R，x2＋1<0． (4)s：∃x，y∈Z，使得x＋y＝3． 解：(1)﹁p：所有实数的绝对值都不是正数，由