(教案)第3章 3.3 幂函数-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

3.3　幂函数 学习任务目标 1．通过具体实例，理解幂函数的概念； 2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； 3．理解常见幂函数的基本性质. 1．如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，则所需的钱数y＝x元． 2．若正方形的边长为x，则面积y＝x2. 3．如果正方体的边长为x，体积为y，那么y＝x3. 4．如果一个正方形场地的面积为x，边长为y，那么y＝. 5．如果某人x min内骑车行进了1 km，骑车的速度为y km/min，那么 y＝x－1. 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　幂函数的图象与性质 1．五个幂函数的图象 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 [微训练] 1．下列函数中不是幂函数的是(　　) A．y＝ B．y＝x3　 C．y＝3x D．y＝x－1 C　解析：只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式．故选C. 2．函数y＝x的图象是(　　) B　解析：当0<x<1时，x>x；当x>1时，x<x，故选B. 3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，则f(4)＝________. 16　解析：由f(2)＝4可知2α＝4，即α＝2.所以幂函数f(x)＝x2.所以f(4)＝42＝16. 幂函数 1．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝2x4 B．y＝2x3－1 C．y＝ D．y＝x2 D　解析：y＝2x4中，x4的系数为2，故A不是幂函数；y＝2x3－1不是y＝xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数；只有D中的函数y＝x2是幂函数． 2．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝(　　) A．2 B．1 C．3 D．0 D　解析：由题意可知m＋1＝1，即m＝0. 所以f(x)＝x2. 3．若幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　) A．y＝x－1 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝x3 B　解析：设f(x)＝xα，则2α＝.所以α＝. 所以f(x)＝x.故选B. 幂函数的图象及应用 【例1】 已知点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)? (2)f(x)＝g(x)? (3)f(x)<g(x)? 解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ. 因为()α＝2，(－2)β＝－， 所以α＝2，β＝－1. 所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1. 分别作出它们的图象，如图．由图象知， (1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)． (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)． (3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 1．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) B　解析：y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移1个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B. 2．当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限． 二、四　解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，y＝x的图象分布在第一象限． 所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第二、四象限． 幂函数性质的应用 探究1：幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 探究2：幂函数y＝xα中，令α＝(其中m∈N*，n∈Z，且m，n互质)，则n，m的取值是如何影响函数的奇偶性的？ 提示：①当m为奇数，n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称； ②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称； ③当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限． 【例2】 (1)已知幂函数y＝x(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且>0 B．q为偶数，p为奇数，且<0 C．q为奇数，p为偶数，且>0 D．q为奇数，p为偶数，且<0 (2)幂函数f(x)＝(m2＋5m－5)xm2－3m(m∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为(　　) A．－6 B．1 C．6 D．1或