第23章专题特训：“手拉手”“半角”旋转模型-（作业课件）【精英新课堂·三点分层作业】2023-2024学年九年级上册数学（人教版）

志 学有鸿鹄志展翅任翱翔 《芝麻助优三点分层作业》 人教版一九年级上册数学 g击 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 Hubei honghuzhi Culture and Media.,LTD 志 专题特训：“手拉手”“半角”旋转模型 学有鸿鹅志展翅任翱翔 志 类型“手拉手”模型 1.【一题多变】将△ACN绕点C顺时针旋转α 得到△MCB. (1)如图，AN与MB交于点F,连接AM, BN,DE,若a=60°. ①求证：△ACM,△CBN,△CDE都是 等边三角形； ②求证：∠BFN=60°； M B 学有鸿鹅志展翅任翱翔 鸡志 证明：①由旋转的性质，得 AC=MC,CN=CB, M ∠ACM= ∠NCB=60°， ∠ANC=∠MBC. A C B .△ACM,△CBN都是等边三角形 .∴.∠DCN=∠ECB=60°. ∴.△DCN≌△ECB(ASA)..∴.DC=EC. ·△CDE是等边三角形. ②由①，知∠ANC=∠MBC,∠NCB=60° .'∠NEF=∠BEC, .∴.∠BFN=∠NCB=60°. 学有鸿鹅志展翅任翱翔 鸡志 (2)如图，连接AM,BN,若a=90°. ①求证：△ACM,△BCN都是等腰直角 三角形； ②求证：AN⊥BM. N B 学有鸿鹅志展翅任翱翔 鸡志 证明：①由旋转的性质，得AC= MC,CN=CB,∠ACM ∠NCB=90°. E ∴.△ACM,△BCN都是等腰A C 直角三角形. B ②设BM分别与CN,AN交于点E,F. 由旋转的性质，得∠ANC=∠MBC 又.∠NEF=∠BEC, ∴.∠EFN=∠BCE=90°. ∴.AN⊥BM. 学有鸿鹄志展翅任翱翔 志 手拉手”基本模型提炼：四线共 点，两两相等，夹角相等 条件：OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD(△OAC绕，点O A 旋转得到△OBD). B 结论：△OAC≌△OBD(SAS). 上题为“手拉手”模型的变形呈现，(1)中旋转60°→ 等边三角形“手拉手”，(2)中旋转90°→等腰直角三 角形“手拉手”，所证明的结论在做小题时可直接用. 常见的还有正方形“手拉手”！ 学有鸿鹅志展翅任翱翔 鸡志 2.【构建“手拉手”模型】如图，等边三角形ABC 内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离 分别为3,4,5，求∠APB的度数. ,点拨：为了解决本题，可以将△ABP绕顶点 A旋转到△ACP'处，得△ACP'≌△ABP. 这样可以利用旋转变换，将线段PA,PB,PC 转化到一个三角形中. B 学有鸿鹅志展翅任朝用 鸡志 解：如图，将△ABP绕点A逆时针 旋转60°得到△ACP',连接PP' .'AP'=AP=3,CP'=BP=4, ∠AP'C=∠APB. B 由题意知∠PAP'=60°， .△APP'为等边三角形. ∴.PP'=AP'=3,∠AP'P=60° 在△CPP中，.P'P2十P'C2=CP2, .△PP'C为直角三角形，且∠PP'C=90°. ∴.∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=150°. 学有鸿鹅志展翅任翱翔 鸡志 【变式题】如图，正方形ABCD内有一点E, 它到点A,B,C的距离分别为8,3√2,10，求 ∠BEA的度数. A E B C 学有鸿鹅志展翅任翱翔