专题十 二元一次方程组（讲义）-2023年数学人教版七年级升八年级暑假培优专题训练

数学七年级下暑假培优专题训练 专题十、二元一次方程组 【专题导航】 目录 【考点一 二元一次方程的定义】........................................1 【考点二 二元一次方程的解】..........................................2 【考点三 二元一次方程组的解法】......................................4 【考点四 二元一次方程组的特殊解法】..................................7 【考点五 由二元一次方程的解求参数】..................................10 【聚焦考点1】 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数次数都是1的整式方程。 注意判断方程是二元一次方程，必须满足以下条件：（1）含有两个未知数；（2）所含未知数的次数都是1；（3）整式方程（未知数不能在分母）。 【典例剖析1】 【考点一 二元一次方程的定义】 【典例1-1】若方程是关于x，y的二元一次方程，则______． 【典例1-2】已知某二元一次方程的部分解如下表所示，请写出这个二元一次方程____________． x … 85 90 100 … y … 115 110 100 … 【典例1-3】如果关于、的方程是二元一次方程，那么______ ． 针对训练1 【变式1-1】等腰三角形中，，，周长为． (1)列出关于、的二元一次方程：________； (2)求该方程的所有整数解． 【变式1-2】七年级（1）班为了奖励优秀学生，购买钢笔和笔记本共花60元，每支钢笔的价格为5元，每本笔记本的价格为3元．设买钢笔x支、笔记本y本． (1)列出关于x、y的方程； (2)用列表格的方式，列出所买的钢笔支数、笔记本本数的所有可能情况． 【变式1-3】已知是二元一次方程的解． (1)求的值； (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程； (3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解 【聚焦考点2】 二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解（通常情况下有无数组解）。书写形式： 特定情形有有限的解. 【典例剖析2】 【考点二 二元一次方程的解】 【典例2-1】如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为克，当右盘放有个相同的砝码时，天平处于平衡状态． (1)若，求天平处于平衡状态时的值． (2)若一个二元一次方程的解，都是正整数，我们把，称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的，的正整数值． (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买本笔记本，支圆珠笔，共需要元，求购买本笔记本和支圆珠笔的费用． 【典例2-2】已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值： (2)求时，y的值． 【典例2-3】某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的客车，分别为8座客车、4座客车（不含司机座位），要求租用的车辆不留空座，也不能超载，有多少种租车方案？ 针对训练2 【变式2-1】阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解_________． (2)若为自然数，求满足条件的正整数x的值． (3)2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？ 【变式2-2】某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段． (1)列出关于，的二元一次方程； (2)应该怎么样截这一根钢管更好？ 【变式2-3】已知是二元一次方程的解． (1)求的值； (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程； (3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解. 【聚焦考点3】 二元一次方程组：有两个未知数，含每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个整式方程。 注意判断一组方程是二元一次方程组，必须满足以下条件：（1）共含有两个未知数；（2）两个一次整式方程所组成的。 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫