广东省河源市龙川县第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

2022-2023学年广东省河源市龙川一中高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合M＝{x|log2x＝0}，集合N满足M∩N＝{1}，则符合条件的集合N可以是（　　）

A．{x|x2＝0} B．{x|2x＝1} C． D．{x|x2+x＝0}

2．（5分）已知复数z＝（a+b）﹣（a﹣b）i为纯虚数（a，b∈R，i是虚数单位），且|z|＝2，则（　　）

A．a＝1且b＝1 B．a＝1且b＝﹣1 C．a＝1或b＝﹣1 D．b＝1或b＝﹣1

3．（5分）若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

4．（5分）已知不为常数数列的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a2是a1和a5的等比中项，则下列正确的是（　　）

A．a3＝5或0 

B．an＝n 

C． 

D．是公差为2的等差数列

5．（5分）将函数y＝sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y＝sin（x﹣）的图象，则φ等于（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（　　）

A．1 B． C． D．2

7．（5分）在一般情况下，过江大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．设当车流密度x＝x0时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大．则（　　）

A．x0＝100 B．x0＝120 C．f（x0）＝3000 D．f（x0）＝6000

8．（5分）已知过点的直线与抛物线C：y2＝2x交于P，Q两点，点，则△PQG一定是（　　）

A．等腰三角形 

B．直角三角形 

C．有一个角为60°的三角形 

D．面积为定值的三角形

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

（多选）9．（5分）已知a，b∈R且a＞|b|，则下列不等式中一定成立的是（　　）

A． B．a2＞b2 C．lg（a﹣b）＞0 D．a+b＞0

（多选）10．（5分）袋中有3个红球，m个白球，n个黄球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一白的概率也为，则（　　）

A．m＝n﹣1 B．m+n＝4 C．E（ξ）＝1 D．

（多选）11．（5分）在平面内，点F1（﹣1，0），F2（1，0）为两个定点，动点P满足，则点P到直线x+y﹣2＝0的距离为d的点恰好有两个，则d的值可以是（　　）

A．1 B． C． D．4

（多选）12．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝4，M为AA1的中点，直线B1M与平面ABC的交点为P，则以下结论正确的是（　　）

A．PC⊥BC1 

B．直线PC∥平面BMC1 

C．在线段BC1上不存在一点Q使得A1Q⊥BC1 

D．以A1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数y＝tanx+x在坐标原点处的切线的斜率为 　   　．

14．（5分）若，则sin（α﹣π）＝　                 　．

15．（5分）的展开式的常数项为 　     　．

16．（5分）将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 　       　．

四、解答题：本大题共6个大题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a5＝7，_____．

请在①Sn+1﹣an＝Sn+1；②an+an+2＝2an+1，且a3＝3；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝an﹣5，求数列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）项和Tm．

18．（12分）如图，在体积为2的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AB⊥BC，AD∥BC，

PA＝AB＝BC＝2．

（1）求AD的长；

（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

19．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2（csinC﹣bsinCcosA）＝csinA．

（1）求角B的大小；

（2）若，求ac的最大值．

20．（12分）某茶楼提供了龙井、大红袍等几类茶叶供顾客选择．根据以往销售统计资料，顾客选择龙井的概率为0.5，选择大红袍但不选择龙井的概率为0.3，设各顾客选择茶叶的种类是相互独立的．

（1）求该茶楼的一位顾客至少选择龙井、大红袍两种茶叶中的一种的概率；

（2）X表示该茶楼的100位顾客中，龙井、大红袍两种茶叶都不选择的顾客数．求X的数学期望及方差．

21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆的左顶点为P，上顶点为Q，O为坐标原点，且△OPQ的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

22．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1．

（1）若f（x）≥0恒成立，求a的最小值；

（2）证明：+x+lnx﹣1≥0．