必刷题二 平面向量的运算-2024年新教材高一数学暑假必刷题【高考解码·过好假期每一天】

第一部分收官之作·完胜上一学期 必刷题二 平面向量的运算 的好书翻给你看 ☑突破疑难 【解】(1)由3a-b=√5，得(3a-b)2=5, 所以9a2-6a·b+b2=5. 利用数量积求解长度问题、夹角、垂直问题是数 因为a2=a2=1,b2=|b2|=1. 量积的重要应用 要掌握此类问题的处理方法： 所以9-6a·b十1=5.所以a·b=5 6 1.(1)a·b=a2或a=√a·a. 所以(a+3b)2=a2+6a·b+9b=1+6× 6 (2)la±b1=√(a±b) +9×1=15. =√Va2+b士2a·b. 所以|a+3b|=√/15. 2.向量夹角公式c0sa,b)=日治的计算中涉 (2)设3a一b与a+3b的夹角为0. 因为(3a-b)·(a+3b)=3a2+8a·b-3b 及了向量运算和数量运算，计算时要区别进 行的是向量运算还是数量运算，从而保证计 =3X1+8x8-3X1 3 算结果准确无误。 3.当两向量垂直时， 所以cos0=(3a-b)·(a+3b 3 =43 利用a·b=0列方程（组）可求未知数. 3a-b a+3b w5×√15 9 ☑剖析典题 因为0°≤180°， 【例1】在平行四边形 所以sin0=/1-cos20= 1 =33 9 9 ABCD中，M,N分别是 DC,BC的中点，已知AM 所以3a-b与a十3b夹角的正孩值为 9 =c,AN=d,试用c,d表示AB和AD 。高分秘籍 由两个向量夹角的定义知，两个非零向量a与b 【解】如图，设AB=a,AD=b. 的夹角9的取值范围是[0，π]，它包括零角、锐 ,M,N分别是DC,BC的中点， 角、直角、钝角和平角这些情况.特别地，当向量 ∴B=b,Di=a. a与b同向时，0=0：当向量a与b垂直时，0= ,在△ADM和△ABN中， 受当向量a与6反向时，0=元在具体解超时， AD+DM=AM. 要根据题意排除不符合的情况。 AB+BN=AN. ●速记口诀 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b.al,|b|,代人公式cos0= 即 a+io-d. 日治求解。 (2)用同一个量表示a·b,a,b代入公式 ①×2-@，得b=号(2e-d,②×2-①，得a 求解. (3)借助向量运算的几何意义，数形结合求 -号2d-e0. 夹角. 2.要注意夹角6的范围0∈[0，r],当cos0>0 A店=d-号ci=c-号d 时.e[0,受）：当cos0<0时9e(受，x]:当 【例2】设向量a,b满足|a=b1=1,|3a一b =5. c0s0=0时，0= (1)求a+3b的值： 3.当两向量垂直时，利用a·b=0列方程（组） (2)求3a-b与a+3b夹角的正弦值. 可求未知数 假日必刷题·数学 空好题刷给你做 刷基础题 刷综合题 知识点1向量的加减法及其几何意义 9.如图所示，已知在△ABC 1.如图所示，在平行四边形AB CD中，BC+DC+BA等于 中，Ai=号A店，DE/BC. DE交AC于点E,BC边 A.BD B.DB 上的中线AM交DE于点N,设AB=a,AC C.BC D.CB b,用a,b表示向量AE,DE,AM,AN 2.如图，D,E,F分别是 △ABC的边AB,BC,CA 的中点，则 A.AD+BE+CF=0 B.BD-CF+DF=0 C.AD+CE-CF=0 D.BD-BE-FC=0 知识点2共线向量定理及其应用 3.在△ABC中，若点D满足BD=2DC,则AD 等于 () A.号AC+号A店 B号A店-号AC c号AC-号A西 D.号AC+A正 10.已知向量AB=a+5b,BC=-2a+8b.CD 4.13(6a+b)-9a+3) 3(a-b), (1)求证：A、B、D三点共线： (2②若2(y-3a）-号e+b-3)+b-0,其中 (2)求证：CA=xCB+yCD(其中x十y=I). a,b,c为已知向量，则未知向量y 知识点3平面向量的数量积 5.若a=3,b=4,a,b的夹角为135°，则a· b= () A.-32 B.-62 C.62 D.2 6.已知向量a=10,b1-12,且a·b=-60, 则向量a与b的夹角为 () A.60° B.120° C.135° D.150 知识点4平面向量的数量积的应用 7.P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB=PB ·PC-PC·PA,则P是△ABC的 () A.外心 B.内心 C.重心 D,垂心 刷高考题 8.(多选题)已知两个非零向量a,b满足|a十b (2022·全国乙卷理科)已知向量a,b满足a= =a一b,则下面结论错误的是 () 1,b1=3,a-2b=3,则a·b=() A.a∥b B.a⊥b A.-2B.-1C.1D.2 C.lal=bl D.a+b=a-b参