第一章 第一课时 空间向量及其线性运算-2024年新教材高一数学暑假必刷题【高考解码·过好假期每一天】

假日必刷题·数学 第二部分 开局之篇 赢定下王学期 第一章 空间向量与立体几何 第一课时 空间向量及其线性运算 它新课学得早 【课标要求】 (2)如图所示，在平行六面体 1.理解空间向量的概念，（难点） ABCD-A'BC'D'中，顶点连 2.常握空间向量的线性运算.（重点） 接的向量中，与向量AA'相等 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的 的向量有 :与向量 应用.（重点、难点） A'B'相反的向量有 知识点1空间向量的有关概念 ,(要求写出所有适合条件的向量) 1.空间向量 【解析】(1)对于①，向量a与b的方向不一 定相同或相反，故①错：对于②，根据相反向 (1)定义：在空间，具有 和 量的定义知a=b,故正确：对于③，根 的量叫做空间向量 (2)长度或模：空间向量的 据相等向量的定义知，AC=A1C,故③正确： 对于①，根据相等向量的定义知正确. (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用 表示： (2)根据相等向量的定义知，与向量AA'相等 ②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量 的向量有BB,CC,DD.与向量A'B相反的 a的起点是A,终点是B,也可记作： 向量有B'A',BA,CD,CD ,其模记为 或 【答案】(1)②③④(2)BB,CC,DD 2,几类常见的空间向量 B'A'.BA.CD.C'D 名称 方向 模 记法 【练1】下列关于空间向量的命题中，正确命题 零向量 的个数是 () ①长度相等，方向相同的两个向量是相等向量： 单位向量 任意 ②平行且模相等的两个向量是相等向量： a的相反向量： ③若a≠b,则|a≠|b:④两个向量相等， 相反 则它们的起点与终点相同. 相等 A.0 B.1 C.2 D.3 向量 AB的相反向量： 知识点2空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 相等向量 相同 a=b (1)向量的加法、减法 【例1】(1)给出下列命题： 加 OB= ①若|a=b,则a=b或a=-b: 空间向 法 =a+b ②若向量a是向量b的相反向量，则1a=b: 量的运 ③在正方体ABCD-AB,CD,中，AC=AC: 算 减 CA= 法 =a-b ①若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m =p. 加法运 ①交换律：a+b 其中正确命题的序号是 算律 ②结合律：(a十b)+c= 第二部分开局之篇·赢定下一学期 (2)空间向量的数乘运算 向量a 的非零向量称为直线！的方向 ①定义：实数入与空间向量a的乘积 向量. 仍然是一个 ,称为向量的数乘运算. 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向 当入>0时，a与向量a方向 量a,都有0∥a. 当<0时，a与向量a方向 (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量 当A=0时，a= :a的长度是a a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数入使 的长度的 倍 ②运算律 (4)如图，O是直线1 a.结合律：(a)= 上一点，在直线1上取非 b.分配律：（入十）a ,A(a十b) 零向量a,则对于直线( 上任意一点P,由数乘向 0 【例2】(1)如图所示，在长方 量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 体ABCD-A1BCD1中，O λ，使得OP=a 为AC的中点. ①化简：A0-A店-号币 【例3】(1)设e1e2是空间两个不共线的向 量，已知AB=e+keg,BC=5e1+4e2,DC 一e1一2e2,且A,B,D三点共线，实 ②用AB,AD.AA表示0C,则OC= 数k= 【解】 ①A0-2A店-2Ai=A方-号店+ 【解析】(1)1AD-AB+BC+CD=(e+e2) +(5e1+4e2)+(e1+2e2)=7e1+(k+6)e2. AD)-A0-2AC-A0-AO-AA 设AD=AAB,则7e1+(k+6)e2=a(e1十e2), ®0G=0元+cG=2(AB+Ai)+AA 所以计6解得6=1 2A店+号Ai+AA. 【答案】1 【练3】已知空间向量a,b,且AB=a十2b,BC (2)在三棱锥O-ABC中，OA=a,OB=b,OC =-5a十6b,CD=7a-2b,则一定共线的三 =c,D为BC的中点，则AD= 点是 () A.-a+2b+2c 1 A.A.B.D B.A.B.C C.B.C.D D.A,C,D B.-2a+b+c 知识点4共面向量 C.atzbz 1 (1)定义：平行于 的向量叫做共面 向量. D.a-gh-ge (2)共面向量定理：若两个向量a,b不共 线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存 【解】依题意得Ad=Oi-OA=号(OB+ 在唯一的有序实数对(x,y),使 (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条 0心-0i=-a+b+c,故选 件：存在有序实数对(x,y),使AP 【练2】已知空间四边形ABCD