第一章 第二课时 空间向量的数量积运算-2024年新教材高一数学暑假必刷题【高考解码·过好假期每一天】

第二部分开局之篇·赢定下一学期 3.对于空间中的非零向量AB,BC,AC,有下列 (2)PA=x PO+y PQ+PD. 各式：①AB+BC=AC:②AB-AC=BC ③1AB+IBCI=|ACI:④|AB1-|ACI= |BC1.其中一定不成立的是 4.在三棱锥A一BCD中，若△BCD是正三角 形，E为其中心，则化简A店+BC-D正 AD的结果为 5.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形 ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上 的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是 CD的中点.求下列各式中x,y的值. (1)OQ=PQ+x PC+yPA: 第二课时 空间向量的数量积运算 空新课学得早 →>→→→→→>→→》→→→ 【课标要求】 2.空间向量的数量积 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法 (1)定义：已知两个非零向量a,b,则 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算 叫做a,b的数量积，记作a·b.即a·b 律及计算方法.（重点） 规定：零向量与任何向量的数量积为 3.掌握投影向量的概念.（重点） 4.能用向量的数量积解决立体几何问题.（难点） (2)常用结论(a,b为非零向量) 知识点1空间向量数量积的运算 ①a⊥b台 1.空间向量的夹角 ②a·a= B (1)夹角的定义 ③cos(a,b)= 已知两个非零向量a,b,在 (3)数量积的运算律 0 空间任取一点O,作OA=a, 数乘向量与 (a)·b=入 OB=b则∠A(OB叫做向量a,b的夹角，记作 数量积的结合律 a 交换律 a·b= (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角的取值范围是[0， 分配律 a·(b+c)= π].特别地，当0=0时，两向量同向共线：当日 时，两向量反向共线，所以若 【例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 a/b,则a,b=0或x:当(a,b)=受时，两向 为1，则AC·AD等于 () 量 ,记作 A.0 B.1 C.Z D.-1 ·49· 假日必刷题·数学 【解析】AC·AD1=(AB+AD)·(AD+ 【练2】如图，四棱锥P一 ABCD中，底面ABCD AA) 为平行四边形，∠DAB44 =AB·AD+AB·AA1+AD+AD·AA =60°，AB=2AD,PD⊥底面ABCD.证明： =0+0+1+0=1. PA⊥BD. 【答案】B 【练1】如图，空间四边形 ABCD的每条边和对角线 的长都等于1，点E,F,G 分别是AB,AD,CD的中 点，则FG·AB=() c n号 知识点2利用数量积证明空间垂直关系 常用结论：a⊥b台 【例2】已知空间四边形OABC中，∠AOB= ∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分 别是OA,BC的中点，G是MN的中点，求证： OG⊥BC 【思路探究】首先把向量OG和BC均用OA、 OB、OC表示出来，通过证明OG·BC=0来证 得OG⊥BC. [证明]连接ON,设 ∠AOB=∠BOC=∠AOC 知识点3夹角问题 =0, 常用结论：cos(a,b〉 又设OA=a,OB=b,OCA.E 【例3】已知a、b是异面直线，A、B∈a,C、D∈ =c+ b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b 则|a=|b1=cl. 所成的角是 ( 又0=20i+0示 A.30° B.45° C.60 D.90 =[2oi+2o+0可] 【解析】设〈AB,CD》=0,AB·CD=(AC+CD -1(a+b+e).BC-c-b. +DB)·CD=|CD2=1,∴.cos0= AB·CD =1 ∴od.Bc=}a+b+e)(e-b) IABICD 2又：0≤01800=60. =ac-a…b+bc-B+2-b:c) 故选C. 【答案】C =al2·cosg-a12·cosg-a2+la 【练3】如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相 12)=0. 等，M是侧棱CC1的中点，则 ∴.OG⊥BC,即OG⊥BC 异面直线AB1和BM所成的 角的大小是 ·50· 第二部分开局之篇·赢定下一学期 它高分提得快 了突破疑难 。解题有法 求两点间的距离或线段长的方法 用数量积解决的距离问题 (1)将相应线段用向量表示，通过向量运算 1.用数量积解决的距离问题常见线段长度即点 来求对应向量的模 点距、点线距、点面距， (2)因为a·a=|a|2,所以|a|=a·a,这 2.常用求模的大小公式 是利用向量解决距离问题的基本公式.另外，该 由公式|a|=√a·a可以推广为|a士b|= 公式还可以推广为|a士b|=√(a士b)羽 √/(a±b)2-√a2±2a·b+b =√a2±2a·b+b √剖析典题 (3)可用1a·e=|a lcos0(e为单位向 【例】在正四面体ABCD中，棱长为a,M,N