选修4-5 不等式选讲-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（老高考)

选修4-5不等式选讲 第一节　绝对值不等式 【考试要求】　1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≤|a-c|+|c-b|;2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c。 主干知识整合 基础梳理 　　1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a=0 a<0 |x|<a (-a,a) ⌀ ⌀ |x|>a (-∞,-a)∪ (a,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) R (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c。 (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 (2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。 小题演练 一、基础题 1.不等式|x|·(1-2x)>0的解集是 (B) A. B.(-∞,0)∪ C. D. 解析　|x|·(1-2x)>0⇔所以故选B。 2.不等式|x+1|>|x-3|的解集为 (A) A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,0) 解析　|x+1|>|x-3|⇔(x+1)2>(x-3)2⇔8(x-1)>0⇔x>1。故选A。 3.不等式|5-4x|>9的解集为  。  解析　由|5-4x|>9,得5-4x>9或5-4x<-9。所以4x<-4或4x>14,所以x<-1或x>。所以原不等式的解集为。 二、易错题 4.(不会分类讨论致误)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是 {x|x<4} 。  解析　①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,所以-4<2,不等式恒成立,所以x≤1;②当1<x<5时,原不等式可化为x-1-(5-x)<2,所以x<4,所以1<x<4;③当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<2,该不等式不成立。综上,原不等式的解集为{x|x<4}。 5.(不会用绝对值的几何意义致误)设f(x)=|x+2|-|x-t|,对于任意实数x,不等式f(x)≤t2+2t恒成立,则实数t的取值范围是 (-∞,-2]∪[1,+∞) 。  解析　由于f(x)=|x+2|-|x-t|≤|(x+2)-(x-t)|=|t+2|。所以f(x)的最大值为|t+2|。所以对于任意实数x,不等式f(x)≤t2+2t恒成立等价于|t+2|≤t2+2t恒成立。即-t2-2t≤t+2≤t2+2t,解得t≤-2或t≥1。故t的取值范围为(-∞,-2]∪[1,+∞) 。 关键能力突破 类型一　绝对值不等式的求解 微专题 角度1:零点分区间法 【例1】　(2023·西安五校联考)已知函数f(x)=|x-3|+|x+a|。 (1)当a=-1时,求不等式f(x)≥3的解集; (2)若f(x)≤|x-5|的解集为A,且[0,2]⊆A,求实数a的取值范围。 解　(1)当a=-1时,f(x)≥3,即|x-3|+|x-1|≥3,所以或或所以x≤或无解或x≥,所以不等式的解集为xx≤或x≥。 (2)由题意知当x∈[0,2]时,恒有f(x)≤|x-5|,此时f(x)≤|x-5|⇔3-x+|x+a|≤5-x,即|x+a|≤2,所以-x-2≤a≤-x+2在区间[0,2]上恒成立,所以a∈[-2,0]。 　　用零点分段法解绝对值不等式的步骤 ①求零点;②划区间、去绝对值符号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值。 【变式训练】　(1)不等式|x2-2x+4|>2x的解集为 {x|x∈R且x≠2} 。  解析　原不等式等价于①x2-2x+4<-2x或②x2-2x+4>2x。①无解,解②得x≠2。所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}。 (2)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为 {x|x≥2或x≤-3} 。  解析　原不等式可化为以下三个不等式组:①②③解①得x≥2,解②得x≤-3,③无解,因此原不等式的解集为{x|x≥2或x≤-3}。 角度2:数形结合法 【例2】　(2021·全国甲卷改编)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-