选修4-4 坐标系与参数方程-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（老高考)

选|考|部|分 选修4-4坐标系与参数方程 第一节　坐标系 【考试要求】　1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础梳理 　　1.极坐标系 在平面上取一个定点O,称为极点,由O点出发的一条射线Ox,称为极轴,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系。 2.点的极坐标 对于极坐标系所在平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画。这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标。ρ称为极径,θ称为极角。 3.极坐标与直角坐标的互化 在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,射线Ox的正方向为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系。设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则相互转化公式为 4.常用简单曲线的极坐标方程 曲线形状(特征) 极坐标方程 过极点且与极轴成α角的直线 θ=α(ρ∈R) 过(a,0)且垂直于极轴的直线 ρcos θ=a 过且平行于极轴的直线 ρsin θ=b 过(ρ0,θ0)且与极轴成α角的直线 ρsin(α-θ)= ρ0sin(α-θ0) 圆心在极点,半径为|r|的圆 ρ=r 圆心在(a,0),半径为|a|的圆 ρ=2acos θ 圆心在,半径为|a|的圆 ρ=2asin θ 圆心在(ρ0,θ0),半径为r的圆 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0) +-r2=0 5.求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步:建立适当的极坐标系; 第二步:在曲线上任取一点P(ρ,θ); 第三步:根据曲线上的点所满足的条件写出等式; 第四步:用极坐标(ρ,θ)表示上述等式,并化简得极坐标方程; 第五步:证明所得的方程是曲线的极坐标方程。 小题演练 一、基础题 1.将极坐标化为直角坐标为 (B) A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(-2,0) 解析　由可知直角坐标为(0,-2)。故选B。 2.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是 (B) A. B. C.(1,0) D.(1,π) 解析　由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为。故选B。 3.在极坐标系中,过点且与极轴平行的直线方程是 (D) A.ρ=0 B.θ= C.ρcos θ=2 D.ρsin θ=2 解析　极坐标为的点的直角坐标为(0,2),过该点且与极轴平行的直线的方程为y=2,其极坐标方程为ρsin θ=2。故选D。 二、易错题 4.(忽视求曲线方程的基本方法致误)在极坐标系中,圆心在(,π)且过极点的圆的方程为 ρ=-2cos θ≤θ≤ 。  解析　如图,O为极点,OB为直径,A(ρ,θ),则∠ABO=θ-,OB=2=,化简得ρ=-2cos θ≤θ≤。 5.(不会数形结合求距离)在极坐标系中,A2,-,B4,两点间的距离为 6 。  解析　设O为极点,则A,O,B三点共线,|AB|=|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=6。 关键能力突破　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　平面直角坐标系中的伸缩变换 自练自悟 1.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C',则曲线C'的方程为 +y'2=1 。  解析　因为所以代入曲线C的方程得C':+y'2=1。 2.曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则曲线C的方程为 4x2+9y2=1 。  解析　根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1。 3.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:则点A经过变换后所得的点A'的坐标为 (1,-1) 。  解析　设A'(x',y'),由伸缩变换φ:得到由于点A的坐标为,于是x'=3×=1,y'=×(-2)=-1,所以点A'的坐标为(1,-1)。 4.双曲线C:x2-=1经过伸缩变换φ:后所得曲线C'的焦点坐标为 (-5,0),(5,0) 。  解析　设曲线C'上任意一点P'(x',y'),将代入x2-=1,得-=1,化简得-=1,即为曲线C'的方程,知C'仍是双曲线,其焦点坐标分别为(-5,0),(5,0)。 　　平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下的变换方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y'=h(x'),即为所求变换之后的方程。 类型二　极坐标与直角坐标的互