第5章 数列-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（老高考)

第五章 数列 第一节　数列的概念与简单表示法 【考试要求】　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础梳理 　　1.数列的有关概念 (1)数列的定义❶ 按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。 (2)数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M,使|an|≤M 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 周期数列 对n∈N*,存在正整数常数k,使an+k=an 　　(3)数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析式法。 [微点清]　❶数列是一种特殊的函数,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性。 　　2.数列的通项公式 (1)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表达,那么这个公式叫做这个数列的通项公式❷。 (2)已知数列{an}的前n项和Sn,则an= [微点清]　❷①并不是所有的数列都有通项公式;②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 3.数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式。 小题演练 一、基础题 1.数列{an}的前几项为,3,,8,,…,则此数列的通项公式可能是 (A) A.an= B.an= C.an= D.an= 解析　数列为,,,,,…,其分母为2,分子可表示为1+5(n-1)=5n-4,因此通项公式可能为an=。 2.在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5等于 (D) A. B. C. D. 解析　a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=3,a5=1+=。 3.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=  。  解析　由题意,得a4=S4-S3=32。即-=32,解得a1=。 二、易错题 4.(忽视n=1的特殊情况致误)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=  。  解析　当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,a1=2不满足上式。故an= 5.(忽视项数为整数的情况致误)数列{an}中,an=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是 30 。  解析　an=-n2+11n=-n-2+,因为n∈N*,所以当n=5或n=6时,an取得最大值30。 6.(忽视数列的周期性致误)设函数{an}的通项公式为an=+cos(n∈N*),又k∈N*,则 (D) A.ak=ak+3 B.ak=ak+4 C.ak=ak+5 D.ak=ak+6 解析　由函数f(x)=cos的周期T==6,知an=+cos的周期为6,故ak=ak+6。 关键能力突破 类型一　归纳数列的通项公式 自练自悟 1.数列-,,-,,-,…的一个通项公式为an= (D) A.(-1)n+1· B.(-1)n· C.(-1)n+1· D.(-1)n· 解析　数列转化为-,,-,,-,…,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·。 2.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其中一列数如下:0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,按此规律得到的数列记为{an},则a15= (B) A.98 B.112 C.128 D.132 解析　奇数项为0,4,12,24,40,…,即,,,,,…,所以当n为奇数时,an=,所以a15==112。故选B。 3.(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星。为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{bn}:b1=1+,b2=1+,b3=1+,…。依此类推,其中αk∈N*(k=1,2,…),则 (D) A.b1<b5 B.b3<b8 C.b6<b2 D.b4<b7 解析　当n取奇数时,由已知b1=1+,b3=1+,因为>,所以b1>b3,同理可得b3>b5,b5>b7,…,于是可得b1>b3>b5>b