第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（老高考)

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节　平面向量的概念及其线性运算 【考试要求】　1.了解向量的实际背景;2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础梳理 　　1.向量的有关概念 (1)向量 两个方面:大小和方向。 其中,向量的大小,叫做向量的长度(或模)。 (2)零向量 长度为0;方向是任意的。 (3)单位向量❶:长度等于1个单位;方向是确定的。 (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量。平行向量又叫共线向量。规定:0与任一向量平行。 (5)相等向量:长度相等;方向相同。 (6)相反向量:长度相等;方向相反。 [微点清]　❶单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与向量a平行的单位向量有两个,即向量和-。 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法❷ 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|=|λ||a|;当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb [微点清]　 ❷向量加法的多边形法则:多个向量相加,利用三角形法则,应首尾顺次连接,a+b+c表示从起点指向终点的向量,只关心起点、终点。 3.共线向量定理❸ a是非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线。 [微点清]　❸=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1。 小题演练 一、基础题 1.在平行四边形ABCD中,点M为BC的中点,设=a,=b,则= a-b (用a,b表示)。  解析　 如图,因为==a-b,=b+a,所以==b+a,所以=+=a-b+b+a=a-b。 2.化简:+--= 0 。  解析　+--=-(+)=-=0。 3.已知向量e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ= - 。  解析　因为a与b共线,所以a=xb(x∈R),可得故λ=-。 二、易错题 4.(最值的条件不清致误)已知|a|=3,|b|=4,则|3a+2b|的最大值和最小值分别为 17和1 。  解析　由|3a+2b|≤|3a|+|2b|=9+8=17可知, |3a+2b|的最大值为|3a|+|2b|=17,当且仅当a与b方向相同时取得最大值。由|3a+2b|≥||3a|-|2b||=|9-8|=1可知,|3a+2b|的最小值为||3a|-|2b||=1,当且仅当a与b方向相反时取得最小值。 5.(三点共线的充要条件不清致误)设A,B,C在一条直线上,O在该直线外,已知=3x+(2-5x),则x等于 0.5 。  解析　因为A,B,C三点共线,所以3x+(2-5x)=1,解得x=0.5。 6.(数形结合弄错线段的关系致误)若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是 (A) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 解析　因为=,所以∥,且||=||,所以四边形ABCD为以AD为上底,BC为下底的梯形。又||=||,所以梯形ABCD的两腰相等。因此四边形ABCD是等腰梯形。 关键能力突破 类型一　平面向量的概念 自练自悟 1.下面说法正确的是 (D) A.平面内的单位向量是唯一的 B.平面内所有单位向量的终点的集合为一个单位圆 C.所有的单位向量都是共线的 D.所有的单位向量的模相等 解析　因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确。 2.判断下列各命题是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”)。 ①单位向量都相等;(×) ②|a|与|b|是否相等,与a,b的方向无关;(√) ③若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;(√) ④若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;(×) ⑤两向量a,b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b。(×) 解析　①不正确。②正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同。③正确,因为=,所以||=||且AB∥DC。又因