13 求解三角形中的最值的“数学素养”-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■周福远 解三角形中的最值问题的实质是变量的 一种不等关系,是高考重点考查的内容,它对 “三角恒等变换、三角函数图像与性质、正余 弦定理的合理应用,构建函数模型以及综合 应用所学知识解决问题”的素养要求较高。 下面通过例题分析,对三角形中的最值问题 求解的“数学素养”作一归纳总结。 题型1:三角变换构建y=Asin(ωx+φ) +B 模型求最值 例1 已知a,b,c分别是△ABC 的三个 内角 A,B,C 的 三 条 对 边,且 csinC- asinA=(b-a)sinB。 (1)求角C 的大小。 (2)求cosA+cosB 的最大值。 解:(1)利用正弦定理,凑出边的齐次式, 再表 示 出 角 的 余 弦 求 角。由 csinC - asinA=(b-a)sinB,可得c2-a2=b2-ab, 即ab=a2+b2-c2,所以cosC= a2+b2-c2 2ab = 1 2 。因为C∈ 0,π ,所以C= π 3 。 (2)利用题设条件降元构建正弦的复合 函数求最值。由(1)知C= π 3 ,所以B= 2π 3- A 且A∈ 0, 2π 3 ,所以cosA+cosB=cosA +cos2π3-A =cosA +cos2π3cosA + sin 2π 3sinA= 1 2 cos A + 3 2 sin A = sin π6+A 。因为 A∈ 0,2π3 ,所以π6+ A∈ π6 ,5π 6 ,所以当π6+A=π2即 A=π3 时,cosA+cosB 取得最大值为1。 素养:形如y=asinx+bcosx 的函数, 可以利用辅助角公式转化为y= a2+b2· sin(x+φ)的形式,再利用正弦函数的有界性 求最值。 变式1:在△ABC 中,角A,B,C 所对的 边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC。 (1)求角C 的大小。 (2)求 3sinA-cosB+ π 4 的最大值, 并求取得最大值时角A,B 的大小。 提示:(1)由正弦定理得sinCsinA= sinAcosC。因为0<A<π,所以sinA>0, 所以sinC=cosC。又cosC≠0,所以tanC =1,所以C= π 4 。 (2)由(1)知B= 3π 4-A ,所以 3sinA- cosB+ π 4 = 3sinA-cos(π-A)= 3· sinA+cosA=2sinA+ π 6 。因为0<A< 3π 4 ,所以π 6<A+ π 6< 11π 12 ,所以当A+ π 6= π 2 ,即A= π 3 ,B= 5π 12 时,2sinA+ π 6 取得最 大值为2。故 3sinA-cosβ+ π 4 的最大值 为2,此时A= π 3 ,B= 5π 12 。 题型2:利用数量积结合余弦定理求最值 例2 已知△ABC 中,A,B,C 的对边 分别是a,b,c,请解答下列问题。 (1)若 B=2A,求证:sinC=3sinA- 4sin3A。 (2)若AB→·AC→+2BA→·BC→=3CA→· CB→,求sinC 的最大值。 解:(1)利用题设和三角形内角和定理, 进行凑角变换。由B=2A,可得C=π-3A。 因为sinC=sin(π-3A)=sin(A+2A)= sinAcos2A +cosAsin2A =sinA (1- 2sin2A)+2sinAcos2A=sinA(1-2sin2A) +2sinA(1-sin2A)=3sinA(1-sin2A)= 3sinA -4sin3A,所 以 sinC=3sinA - 72 数学文化与赏析 高一数学 2023年6月 4sin3A 成立。 (2)利用数量积结合余弦定理,构建角的 余弦的目标函数,利用不等式求最值。 由AB→·AC→+2BA→·BC→=3CA→·CB→, 可得bccosA+2accosB=3abcosC,结合余 弦定理化简得a2+2b2=3c2。 由余 弦 定 理 得cosC= a2+b2-c2 2ab = 2a2+b2 6ab ≥ 22ab 6ab = 2 3 (当且仅当 2a=b时, 等号成立)。因为C 为△ABC 的内角,所以 sinC>0,所以sinC= 1-cos2C≤ 7 3 ,当 且仅当 2a=b,即a∶b∶c= 3∶ 6∶ 5时 等号成立。故sinC 的最大值为 7 3 。 素养:余弦定理的实质就是用三边的二 次齐次分式来表示的,于是,凡三边满足二次 齐次分式,可代入余弦定理中进行化归二元 变量,利用不等式求得角的取值范围。 变式2:为了竖一块广告牌,要制造三角 形支架,如图1,要求∠ACB=60°,BC 的长 度大于1m,且AC 比AB 长0.5m,为了稳 固广告牌,要求AC 越短越好,则AC 最短为 m。 图