12 平面向量应用中的核心素养-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■俞 钊 以平面图形为载体,考查平面向量基本 定理、数量积、向量的夹角、模的计算,凸显数 学运算、直观想象的核心素养;与三角函数、 向量的坐标表示相结合,考查向量的数量积、 向量的夹角、模的计算,凸显数学运算的核心 素养;与平面几何问题相结合,考查平面向量 基本定理、数量积的应用,凸显数学运算、数 学建模、直观想象的核心素养。 题型一:平面向量与平面几何问题 例1 如图1,在△ABC 中,D 是BC 的 中点,E 在边AB 上,BE=2EA,AD 与CE 交于点O。若AB→·AC→=6AO→·EC→,则ABAC 的值是 。 图1 将所求问题转化为基底的 数量积,然后利用几何性质可得 比值。过点D 作DF∥CE,交AB 于点F。 由BE=2EA,D 为BC 的中点,可知 BF=FE=EA,AO=OD。 因为6AO→·EC→=3AD→·(AC→-AE→)= 3 2 (AB→+AC→)·(AC→-AE→)=32(AB →+AC→)· AC→-13AB → =32(AB→·AC→- 13AB→2+ AC→ 2 - 1 3AB → ·AC→)= 32 2 3AB →·AC→- 1 3AB →2+AC→ 2 =AB→·AC→-12AB→2+32AC→2 =AB→·AC→,所 以 12AB →2= 32AC →2,所 以 AB→ = 3· AC→ ,即ABAC= 3。 总结提升:处理几何问题有两个角度:一 是选定基底,用相同的向量表示研究对象;二 是通过建立坐标系,利用向量的坐标运算求 解。证明两线段平行,如AB∥CD,只需证明 存在实数λ≠0,使AB→=λCD→ 成立,且AB 与 CD 无公共点。证明A,B,C 三点共线,只需 证明存在实数λ≠0,使 AB→=λAC→。要求一 个角,如∠ABC,只需求向量BA→ 与向量BC→ 的夹角即可。解决长度问题,可利用向量的 数量积及模的概念,通过整体代入使问题得 到简捷、明了的解决。 题型二:平面向量与三角函数问题 例2 (多选题)已知O 为坐标原点,点 P1(cosα,sinα),P2 (cosβ,-sinβ), P3(cos(α+β),sin(α+β)),A (1,0), 则( )。 A.|OP1→|=|OP2→| B.|AP1→|=|AP2→| C.OA→·OP→3=OP1→·OP2→ D.OA→·OP1→=OP2→·OP3→ 写出 OP1→,OP2→,AP1→,AP2→ 的坐标,利用坐标公式求模,再 利用向量数量积的坐标表示及和差角公式进 行化简,即可判断正误。因为OP1→=(cosα, sinα),OP2→=(cosβ,-sinβ),所以|OP1→|= cos2α+sin2α = 1, | OP2→ | = (cosβ)2+(-sinβ)2=1,所 以|OP1 →|= |OP2→|,A正确。由AP1→=(cosα-1,sinα), AP2→=(cosβ-1,-sinβ),可得|AP1→|= (cosα-1)2+sin2α = 2(1-cosα) = 4sin2 α 2=2sin α 2 ,同理可得,|AP2→|= (cosβ-1)2+sin2β =2 sin β 2 ,所 以 |AP1→|,|AP2→|不一定相等,B错误。OA→· OP3→=1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α 52 数学文化与赏析 高一数学 2023年6月 +β),OP1 →·OP2→=cosα·cosβ+sinα· (-sinβ)=cos(α+β),C正确。因为OA →· OP1→=1×cosα+0×sinα=cosα,OP2→· OP3→=cosβ·cos(α+β)+(-sinβ)·sin(α +β)=cos(β+(α+β))=cos(α+2β),所以 OA→·OP1→≠OP2→·OP3→,D错误。应选AC。 总结提升:平面向量与三角函数问题是 高考的一个常考点,也是同学们学习的一个 难点。解答这类问题的关键是把向量问题转 化为三角函数问题,通过三角恒等变换,将三 角函数的表达式进行化简,然后根据化简后 的三角函数解析式,讨论其图像、性质及求值 等问题。 题型三:平面向量中的最值或范围问题 例3 如图2,在直角梯形 ABCD 中, EF 是CD 边 上 长 为6的 可 移 动 的 线 段, AD=4,AB=83,BC=12,则BE→·BF→ 的 取值范围为 。 图2 在 BC 上 取 一 点 G,使 得 BG=4,取EF 的中点P。易得 DG=83,GC=8,CD= 82+(83)2=16, 所以tan∠BCD= 3,所以∠BCD=60°。 易得BE→·BF→=14[(BE →+BF→)2-(BE→ -BF→)2]=14[(2BP →)2-