11 题型创新 助力复数-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■张 冉 创新题型以考查同学们探究能力和创新 能力为目的,常常以“问题”为核心,以“探究” 为途径,以“发现”为目的,为高层次思维创造 了条件,是挖掘、提炼数学思想方法,充分展 示应用数学思想方法的良好载体。下面精选 一些以复数为背景的创新情景题,并分类解 析,旨在探索题型规律,揭示解题方法,开阔 同学们的视野和思维,提高同学们的数学思 维能力、分析问题和解决问题的能力。 一、聚焦高频考点 例1 (多选题)已知复数z=a+ 3i在 复平面内对应的点位于第二象限,且 z = 2,则下列结论正确的是( )。 A.z3=8 B.z的虚部为 3 C.z的共轭复数为1+ 3i D.z2=4 解:因为z=a+ 3i,且 z =2,所以 a2+(3)2=4,即a=±1。又z=a+ 3i在 复平面内对应的点位于第二象限,所以a= -1,则 z= -1+ 3i。对 于 A,(-1+ 3i)3=(-1)3+3(-1)2 3i+3(-1)(3i)2 +(3i)3=8。对于B,z=-1+ 3i的虚部 是 3。对于C,z=-1+ 3i的共轭复数为 z=-1- 3i。对于D,(-1+ 3i)2=(-1)2 +2(-1)3i+(3i)2=-2-2 3i。应选 AB。 本题将复数的概念、复数 的几何意义、共轭复数、复数 的虚部、复数的模等高频考点结合在一起考 查,属于基础题,但命题形式新颖别致。 二、定义新概念 例2 定义:复数b+ai是z=a+bi(a, b∈R)的转置复数,记为z'=b+ai;复数a- bi是z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数,记为 z=a-bi。给出下列命题:①z'=iz;②z'+ z'=0;③z1'·z2'=z1z2。其中真命题的序 号为 。 解:①因为iz=i(a-bi)=b+ai,z'= b+ai,所以z'=iz 成立。②因为z'+z'= (-b+ai)+(b-ai)=0,所以z'+z'=0成 立。③令z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈ R,则z1'=b+ai,z2'=d+ci,所以z1'· z2'=(bd-ac)+(ad+bc)i。因为z1·z2= (ac-bd)+(ad+bc)i,z1z2=(ac-bd)- (ad+bc)i,所以z1'·z2'=z1z2 不成立。故 真命题的序号为①②。 本题给出“转置复数”的 概念,背景新颖,构思巧妙,理 解新概念是解题的关键。 三、约定新的运算 例3 已知z=a+bi(a,b∈R,i是虚数 单位),z1,z2∈C,定义:D(z)=z=|a|+ |b|,D(z1,z2)=z1-z2,则下列结论正确的 是( )。 A.对任意z∈C,都有D(z)>0 B.若z 是z 的共轭复数,则 D(z)= D(z)恒成立 C.若 D(z1)=D(z2)(z1,z2∈C),则 z1=z2 D.对任意z1,z2,z3∈C,则D(z1,z3)≤ D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立 解:对于 A,当z=0时,D(z)=0= |0|+|0|=0,A错误。对于B,z=a+bi,则 z=a-bi,所以D(z)=z=|a|+|-b∣= |a|+|b|=z=D(z),B正确。对于 C,若 D(z1)=D(z2)(z1,z2∈C),则z1=z2 不一 定成立,如z1=1+i,z2=1-i,满足D(z1)= D(z2)(z1,z2∈C),但z1≠z2,C错误。对于 D,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈ R),z3=e+fi(e,f∈R),则 D(z1,z2)= z1-z2=(a-c)+(b-d)i=|a-c|+|b- d|,D(z2,z3)=z2-z3=(c-e)+(d- f)i=|c-e|+|d-f|,D(z1,z3)=z1- 32 数学文化与赏析 高一数学 2023年6月 z3=(a-e)+(b-f)i=|a-e|+∣b- f ∣。由|a-e|=|(a-c)+(c-e)|≤|a- c|+|c-e|,|b-f|=|(b-d)+(d-f)|≤ |b-d|+|d-f|,可得 D(z1,z3)≤D(z1, z2)+D(z2,z3)恒成立,D正确。应选BD。 本题主要考查同学们独 立获取信息、加工信息的学习 能力,要求在阅读理解的基础上,紧扣条件, 抓住关键的信息,实现信息的转化,从而达到 灵活解题的目的。 四、彰显数学文化 例4 (多选题)欧拉公式exi=cosx+ isinx(其中i为虚数单位,x∈R)是由瑞士著 名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的 定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数 函数的关联,在复变函数论里占有非常重要 的地位。依据欧拉公式,下列选项正确的是 ( )。 A.e π 4i= 2 2- 2