10 聚焦古典概型的交汇问题-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■赵 洋 古典概型与其他知识的交汇问题,是每 年高考的常考点。对于这类问题,应根据相 关的知识点,列举出所有的基本事件,进而根 据古典概型的概率公式求解。 类型一:古典概型与集合的交汇问题 例1 已知集合A={(x,y)|x+y=8, x,y∈N*},B={(x,y)|y>x+1}。从集合 A 中 任 取 一 个 元 素 m,则 m∈B 的 概 率 为( )。 A. 1 2 B. 3 7 C. 4 7 D. 3 4 解:用列举法表示集合 A,B,求出基本 事件的总数和满足条件的事件个数,利用古 典概型公式求解。集合 A 中的元素为(1, 7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7, 1),共7个元素,其中属于集合 B 的为(1, 7),(2,6),(3,5),共3个元素。故从集合A 中任取一个元素m,则 m∈B 的概率为 3 7 。 应选B。 反思:解决古典概型与集合的交汇问题 的关键是利用列举法表示出已知集合。 变式训练1:已知集合 M={-1,0,1, -2},从集合 M 中有放回地任取两个元素作 为点P 的坐标,则点P 落在坐标轴上的概率 为( )。 A. 5 16 B. 7 16 C. 3 8 D. 5 8 提示:由已知条件得基本事件总数为4 ×4=16,其中落在坐标轴上的点的个数为 (-1,0),(0,-1),(0,0),(1,0),(0,1), (-2,0),(0,-2),共7个点,所以所求概率 P= 7 16 。应选B。 类型二:古典概型与函数的交汇问题 例2 将一枚骰子抛掷两次,所得向上 点数分别为m 和n,则函数y=mx2-4nx+ 1在[1,+∞)上是增函数的概率是( )。 A. 1 6 B. 1 4 C. 3 4 D. 4 5 解:由二次函数的单调性得到m,n 的关 系,从而确定满足条件的事件个数,由乘法原 理确定基本事件个数。由题意可知,m,n∈ {1,2,3,4,5,6},用(m,n)代表一个基本事 件,则基本事件个数为62=36。 若函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上 是增函数,则- -4n 2m = 2n m≤1 ,即m≥2n。满 足m≥2n 的基本事件为(2,1),(3,1),(4, 1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6, 3),共9种情况。由古典概型的概率公式可 得所求概率P= 9 36= 1 4 。应选B。 反思:解决古典概型与函数的交汇问题, 应熟记函数的性质,构建有序实数对确定基 本事件的个数,根据函数的性质列举出所求 事件的个数,进而利用古典概型求概率。 变式训练2:从集合 13 ,1 2 ,2,3 中随机 抽取一个数记为a,从集合{-1,1,-2,2}中 随机抽取一个数记为b,则函数y=ax+b的 图像经过第三象限的概率是( )。 A. 1 8 B. 1 4 C. 3 8 D. 1 2 提示:由题意可得,从集合 1 3 ,1 2 ,2,3 中 随机抽取一个数记为a,有4种情况,从集合 {-1,1,-2,2}中随机抽取一个数记为b,有 4种情况,则组成函数f(x)=ax+b 的有 4×4=16(种)情况。函数f(x)=ax+b 的 图像经过第三象限的情况有:①当a=3,b= -1时,②当a=3,b=-2时,③当a=2,b= -1时,④当a=2,b=-2时,⑤当a= 1 3 , b=-2时,⑥当a= 1 2 ,b=-2时,共6种情 况。所以函数图像经过第三象限的概率为6 16 = 3 8 。应选C。 12 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 类型三:古典概型与平面向量的交汇问题 例3 从集合{0,1,2,3}中随机地取一 个数a,从集合{2,4,6}中随机地取一个数b, 则向量m=(b,a)与n=(1,-2)垂直的概率 为( )。 A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 解:构建有序实数对,确定基本事件总数 及满足条件的事件个数。从集合{0,1,2,3} 中随机地取一个数a,从集合{2,4,6}中随机 地取一个数b,则基本事件总数为4×3=12。 当向量m=(b,a)与向量n=(1,-2)垂 直时,则n·m=b-2a=0,可得b=2a,所以 满足b=2a的结果为(2,1),(4,2),(6,3),共 3种情况。故概率P= 3 12= 1 4 。应选C。 反思:解决古典概型与平面向量的交汇 问题,应熟记平面向量的有关概念,列举出基 本事件总数和满足条件的事件个数,进而利 用古典概型的概率公式求解。 变式训练3:设平面向量a=(m,1),b= (2,n),其中 m,n∈{-2,-1,1,2}。记“使 得a⊥b