09 向量巧妙创设,三角形展示“四心”-基于一道课本习题的探究-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

———基于一道课本习题的探究 ■宫庆宝 平面向量集“数”“形”于一身,既有代数 的抽象性,又有几何的直观性,从代数与几何 两个角度去审视平面向量的代数结构、挖掘 平面向量的几何特征,可以更加深刻、细致地 揭示问题的本质。下面借助向量的视角来审 核三角形中的“四心”问题,合理区分它们许 多相似的结构特征,进而从不同层次体会它 们的几何定义、几何性质与代数表示,充分领 悟数学中的和谐之美。 一、源于教材 习题:(人教版第二册第六章第52页第2 题)已知O,N,P 在△ABC 所在平面内,满 足|OA→|=|OB→|=|OC→|,NA→+NB→+NC→= 0,且PA→·PB→=PB→·PC→=PC→·PA→,则O, N,P 依次是△ABC 的( )。 A.重心,外心,垂心 B.重心,外心,内心 C.外心,重心,垂心 D.外心,重心,内心 解:由|OA→|=|OB→|=|OC→|,可知点O 到△ABC 的三个顶点的距离相等,则点O 为 △ABC 的 外 心。设 D,E,F 分 别 为 AB, BC,CA 的中点,由 NA→+NB→+NC→=0,可 得NA→+NB→=2ND→=-NC→,则|NC|= 2|ND|。同 理 可 得,|NA|=2|NE|, |NB|=2|NF|,则点 N 为△ABC 的重心。 因为 PA→·PB→=PB→·PC→,所 以(PA→- PC→)·PB→=0,即CA→·PB→=0,所以CA→⊥ PB→。同理可得,BC→⊥PA→,则点P 为△ABC 的垂心。故点O,N,P 依次是△ABC 的外 心,重心,垂心。应选C。 这道习题,借助平面向量的代数表示与 三角形的几何性质,充分展示三角形的“四 心”。解题时,利用向量的代数运算,结合三 角形的“四心”的定义与性质加以分析与判 断,实现问题的破解。 二、“四心”风采 正确区分三角形的“四心”的定义,充分 把握它们的几何性质与结构特征,结合平面 向量的相关知识,掌握对应的向量表达式,才 能更加全面地理解与掌握三角形的“四心”风 采及其综合应用。 1.三角形中的“垂心” 垂心是三角形三条高所在直线的交点。 三角形的垂心分每条高线的两部分的数量积 相等。 定理1:点O 是△ABC 的垂心⇔OA→· OB→=OB→·OC→=OC→·OA→。 例1 已知点O 在△ABC 所在平面内, 且满足|OA→|2+|BC→|2=|OB→|2+|CA→|2= |OC→|2+ |AB→ |2,则 点 O 为 △ABC 的( )。 A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 解:由|OA→|2+|BC→|2=|OB→|2+|CA→|2, 可得|OA→|2-|OB→|2=|CA→|2-|BC→|2,展开可 得(OA→+OB→)·(OA→-OB→)=(CA→+CB→)· (CA→-CB→),即(OA→+OB→)·BA→=(CA→+ CB→)·BA→,整理得BA→·(OA→+OB→+AC→+ BC→)=0,即BA→·2OC→=0,所以BA→⊥OC→。 同理可得,AC→⊥OB→,CB→⊥OA→。故点 O 为 △ABC 的垂心。应选A。 2.三角形中的“重心” 重心是三角形三条中线的交点。三角形 重心是三条中线的三等分点,它到顶点的距 离等于它到对边中点距离的2倍。 定理2:点O 是△ABC 的重心⇔OA→+ OB→+OC→=0。 例2 (多选题)已知点O 在△ABC 所 在平面内,下列说法中,能保证点 P 的轨迹 91 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 过△ABC 的重心的是( )。 A.PA→+PB→+PC→=0 B.动点 P 满足OP→=OA→+λ AB → |AB→| + AC→ |AC→| ,λ∈[0,+∞) C.动点 P 满 足 OP→=OA→+λ(AB→+ AC→),λ∈[0,+∞) D.点 P 满足PA→·PB→=PB→·PC→= PC→·PA→ 解:对于 A,如图1所示,设BC 的中点 为D。由 PA→+PB→+PC→=0,可得 PA→= -(PB→+PC→)=-2PD→,所以点P 为△ABC 的重心,A正确。 图1 图2 对 于 B,由 OP→ =OA→ +λ AB → |AB→| + AC→ |AC→| ,λ∈[0,+∞),可得AP→=λ AB → |AB→| + AC→ |AC→| ,由 AB → |AB→| 为 AB→ 方向上的单位向量 AF→,AC → |AC→| 为AC→ 方向上的单位向量AG→,可 得AP→=λ(AF→+AG→),如图2所示。而AF→ +AG→=AE→,且射线 AE 为∠BAC 的平分 线,所以点P 在∠BAC 的平分线上,B错误。 对于C,如图1所示