08 解析复数问题的常见考点-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■牛 娇 复数是每年高考的必考内容之一,复数 的主要考点有:复数的概念,复数的运算以及 复数的几何意义。下面就复数的常见考点进 行解析。 考点1:复数的有关概念 求一个复数的实部与虚部,可将已知复 数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复 数的实部为a,虚部为b;求一个复数的共轭 复数,只需将此复数整理成标准的代数形式, 实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共 轭复数,复数z1=a+bi与z2=c+di共轭⇔ a=c,b=-d(a,b,c,d∈R)。 例1 (1)复数 1 1-3i 的虚部是( )。 A.- 3 10 B.- 1 10 C. 1 10 D. 3 10 (2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚 数单位)是实数,则a=( )。 A.1 B.-1 C.2 D.-2 解:(1)因为 1 1-3i= 1+3i (1+3i)(1-3i)= 1+3i 10 = 1 10+ 3 10i ,所以虚部为3 10 。应选D。 (2)因为a-1+(a-2)i是实数,所以 a-2=0,所以a=2。应选C。 跟踪训练1:(1)已知a+bi(a,b∈R)是 1-i 1+i 的共轭复数,则a+b等于( )。 A.-1 B.- 1 2 C. 1 2 D.1 (2)若z=1+i,则|z2-2z|=( )。 A.0 B.1 C.2 D.2 提示:(1)由 1-i 1+i= (1-i)(1-i) (1+i)(1-i)=-i , 可得a+bi=i。由复数相等得a=0,b=1,所 以a+b=1。应选D。 (2)(方法1)由z=1+i,可得|z2- 2z|=|(1+i)2-2(1+i)|=|2i-2i-2|= |-2|=2。应选D。 (方法2)由z=1+i,可得|z2-2z|= |z||z-2|= 2×|-1+i|= 2× 2=2。 应选D。 考点2:复数的四则运算 复数代数形式运算问题的解题策略:在 进行复数的加减法运算时,可类比合并同类 项,运用法则(实部与实部相加减,虚部与虚 部相加减)计算即可;复数的乘法类似于多项 式的四则运算,可将含有虚数单位i的项看 作一类同类项,不含i的项看作另一类同类 项,分别合并即可;复数除法的关键是分子分 母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式。 例2 (1)已知z=2-i,则z(z+i)= ( )。 A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i (2)已 知 (1-i)2z=3+2i,则 z= ( )。 A.-1- 3 2i B.-1+ 3 2i C.- 3 2+i D.- 3 2-i 71 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 解:(1)因为z=2-i,所以z(z+i)= (2-i)(2+2i)=6+2i。应选C。 (2)由已知条件得z= 3+2i (1-i)2 = 3+2i -2i= 3i-2 2 =-1+ 3 2i 。应选B。 跟踪训练2:(1)设2(z+z)+3(z-z) =4+6i,则z=( )。 A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i (2)(多选题)对于两个复数α=1-i,β= 1+i,下列四个结论中正确的是( )。 A.αβ=1 B. α β =-i C. α β =1 D.α2+β2=0 提示:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z= a-bi,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,可得 4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,所以z= 1+i。应选C。 (2)由α=1-i,β=1+i,可得αβ=(1- i)(1+i)=2,A 不 正 确。 α β = 1-i 1+i= (1-i)(1-i) (1+i)(1-i)= -2i 2 =-i ,B正确。 α β = |-i|=1,C正确。α2+β2=(1-i)2+(1+ i)2=1-2i-1+1+2i-1=0,D正确。应选 BCD。 考点3:复数的几何意义 复数z、复平面上的点Z 及向量OZ→ 相 互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔ OZ→=(a,b)。由于复数、点、向量之间建立了 一一对应关系,因此可把复数、向量与解析几 何联系在一起,解题时可运用数形结合的方 法,使问题的解决更加直观。|z|的几何意 义:令 z=x+yi(x,y∈R),则|z|= x2+y2,由此可知表示复数z 的点到原点 的距离就是|z|的几何意义;|z1-z2|的几何 意义是复平面内表示复数z1,z2 的两点之间 的距离。 例3 (1)复数 2-i 1-3i 在复平面内对应的 点所在的象限为( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (