07 与平面向量有关的最值、范围问题的求解策略-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■刘 哲 平面向量是高中数学知识的一个重要交 汇点,以向量为背景的最值问题,综合性较 强,涉及的知识点多,解法灵活多样。下面就 向量有关的最值问题的求解策略举例分析, 供同学们学习与提高。 一、利用不等式的性质 例1 已知 P 是边长为2的正六边形 ABCDEF 内的一点,则 AP→·AB→ 的取值范 围是 。 解:如图1,以 A 为坐标原点,AB 所在 的直线为x 轴,建立平面直角坐标系xAy。 图1 易得点 A(0,0),B(2,0),C(3,3), F(-1,3)。设点P(x,y),-1<x<3,则 AP→=(x,y),AB→=(2,0)。所以AP→·AB→= (x,y)·(2,0)=2x∈(-2,6),即AP→·AB→ ∈(-2,6)。 评析:在不等式的两边同乘以一个正数, 不等式的方向不变。 二、利用x2≥0 例2 已知△ABC 是边长为2的等边三 角形,P 为 平 面 ABC 内 一 点,则 PA→ · (PB→+PC→)的最小值是 。 解:如图2,以BC 的中点为坐标原点,建 立平面直角坐标系xOy。 图2 易得点A(0,3),B(-1,0),C(1,0)。 设点P(x,y),则PA→=(-x,3-y), PB→=(-1-x,-y),PC→=(1-x,-y),所 以PA→·(PB→+PC→)=2x2-2 3y+2y2= 2x2+ y- 3 2 2 - 3 4 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。故所求的最小值为 2× - 3 4 =-32,此时x=0,y= 32。 评析:完全平方式的和为非负数。 三、利用三角形的三边关系 例3 已知|AB→|=10,|AC→|=7,则 |BC→|的取值范围是( )。 A.[3,17] B.(3,17) C.(3,10) D.[3,10] 解:依题意得|AB→|-|AC→|≤|BC→|≤ |AC→|+|AB→|,故3≤|BC→|≤17,即|BC→|的 取值范围是[3,17]。应选A。 评析:三角形的任意两边之和大于第三 边,任意两边之差小于第三边。 四、利用二次函数的性质 例4 如图3所示,在四边形ABCD 中, ∠B=60°,AB=3,BC=6,AD→=λBC→,AD→· AB→=-32,若M,N 是线段BC 上的动点,且 |MN→|=1,则DM→·DN→ 的最小值为 。 图3 解:因为 AD→=λBC→,所以 AD∥BC,则 ∠BAD=120°,所以 AD→·AB→=|AD→|· |AB→|·cos120°=-32,可得|AD →|=1。已 知向量 AD→,BC→ 同向,且 BC=6,在四边形 ABCD 中,作 AO⊥BC 于 点 O,则 BO= AB·cos60°= 3 2 ,AO=AB·sin60°= 33 2 。 以O 为坐标原点,BC,AO 所在直线分别为x 轴,y轴建立平面直角坐标系xOy(如图3)。 51 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 设点 M(a,0),不妨设点 N 在点 M 右 侧,则N(a+1,0),易得- 3 2≤a≤ 7 2 。因为 点D 1, 33 2 ,所以 DM→= a-1,-332 , DN→= a,-332 ,所以 DM→·DN→=a2- a+ 27 4 = a- 1 2 2 + 13 2 。故 当 a= 1 2 时, DM→·DN→ 取得最小值132,即 DM →·DN→ 的 最小值为 13 2 。 评析:二次函数y=ax2+bx+c,当a> 0时,y 有最小值;当a<0时,y 有最大值。 五、利用余弦函数的性质 例5 若向量a,b满足a=(cosθ,sinθ) (θ∈R),|b|=2,则|2a-b|的取值范围为 。 解:设a与b的夹角为α,则(2a-b)2= 4a2+b2-4a·b=8-8cosα。因为α∈[0, π],-1≤cosα≤1,所以0≤8-8cosα≤16, 所以0≤|2a-b|≤4,所以|2a-b|的取值范 围为[0,4]。 评析:余弦函数y=cosx 在[0,π]上单 调递减,其值域为[-1,1]。 六、利用正弦函数的性质 例6 在平面直角坐标系中,O 为坐标 原点,已知向量a=(-1,2),点 A(8,0), C(ksinθ,t)0≤θ≤ π 2 。若向量 AC→ 与向 量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时, 则OA→·OC→= 。 解:由题设知AC→=(ksinθ-8,t)。因为 AC→ 与a 共线,所以t=-2ksinθ+16,所以 tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k· sinθ- 4 k 2 + 32 k 。因为k>4,所以0< 4 k< 1,所以当sinθ= 4 k 时,tsinθ取得最大值