06 合理构建三角形,妙用正(余)弦定理解题-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■陈 铤 在解决一些涉及函数与方程、不等式、三 角函数、平面向量等问题时,看似与平面几何 中的三角形无关,而借助题目条件或问题情 境合理构建三角形,利用解三角形的思维,结 合正(余)弦定理加以巧妙应用,可以合理化 归,实现完美转化,从而巧妙地解决相应的数 学问题。 一、特殊化构建三角形 例1 设α=29°,β=31°,则sin2α+ sinαsinβ+sin2β= 。 分析:根据题目条件,合理转化成三角形 的内角,从而构造三角形并进行特殊化处理, 综合解三角形思维,利用正弦定理和余弦定 理加以巧妙变形与求解。 解:构造特殊△ABC,使得 a sinA= b sinB = c sinC=1 ,则a=sinA=sinα,b=sinB= sinβ,c=sinC=sin120°= 3 2 ,所以cosC= cos120°=- 1 2 。 结合正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 得sin2α+ sinαsinβ+sin2β=sin2A +sinAsinB + sin2B=a2+ab+b2=a2+b2-2abcosC= c2= 3 4 。答案为3 4 。 此题看似简单,实际操作 与计算起来需要比较强的数 学运算能力与逻辑推理能力。而数学直观感 较强的同学,可以直接从题目背景中感受到 这道题和余弦定理的结构特征之间存在某种 “内联”关系,从而借助解三角形,利用正弦定 理的转化来构造余弦定理,从而使得问题顺 利得解。 二、情境化构建三角形 例2 已知椭圆C: x2 4+ y2 3=1 的焦点为 F1,F2,椭圆 C 上一点P 满足∠PF2F1= 2∠PF1F2,则PF1→·PF2→ 的值为 。 分析:根据题目条件,利用问题的情境设 置,将解析几何问题合理化转化为三角形问 题,利用正(余)弦定理,结合椭圆的定义与几 何性质以及平面向量的数量积运算,实现问 题的突破与求解。 解:由椭圆C: x2 4+ y2 3=1 ,可知a=2, b= 3,c=1。设|PF1|=m,|PF2|=n,结 合椭圆的方程,画出适合题意的△PF1F2,如 图1所示。 图1 根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|= m+n=2a=4。 ① 在 △PF1F2 中,利 用 正 弦 定 理 可 得 m sin∠PF2F1 = n sin∠PF1F2 ,结合∠PF2F1= 2∠PF1F2 并整理可得m=2ncos∠PF1F2,即 cos∠PF1F2= m 2n 。由余弦定理得cos∠PF1F2 = m2+4-n2 4m = m-n+1 m ,所以m-n+1 m = m 2n , 整理得m2=2mn-2n2+2n。 ② 31 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 由①②解得 m= 12 5 , n= 8 5 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 m=2, n=2 (舍去)。 根 据 余 弦 定 理 得 cos ∠F1PF2 = m2+n2-4 2mn ,则PF1→·PF2→=mncos∠F1PF2 = m2+n2-4 2 = 54 25 。答案为54 25 。 在解决解析几何的相关 问题中,经常将解析几何中对 应曲线的几何性质转化到三角形中,从而利 用正弦定理和余弦定理构建相应的关系式进 行分析与求解,这是解析几何问题最常用的 技巧方法之一。本题涉及椭圆问题,有兴趣 的同学可以探究一下。 三、整体化构建三角形 例 3 已 知 tanα tanα+ π 4 = - 2 3 ,则 sin2α+ π 4 的值为 。 分析:根据题目条件,通过引入参数β= α+ π 4 ,构造相应的直角三角形模型,利用三 角形中边与角之间的关系,借助解三角形思 维,构建对应的关系式进行合理处理。 解:令β=α+ π 4 ,则2α+ π 4=α+β 。 令θ=π-(α+β)。由 tanα tanα+ π 4 = tanα tanβ =- 2 3 ,可构造Rt△ABC,其中tanα= 1 3 ,tanβ=- 1 2 ,如图2所示。 图2 由上可得sin2α+ π 4 =sin(α+β)= sin[π-(α+β)]=sinθ。 在△ACD 中,CD=1,AC= 12+32= 10,AD= 12+22= 5,根据余弦定理得 cosθ= AC2+AD2-CD2 2×AC×AD = 10+5-1 2× 10× 5 = 72 10 。根据 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 得 sinθ= 1-cos2θ= 1- 72 10 2 = 2 10 ,所 以sin2α+ π 4 = 210。答案为 210。 利用参数的整体化思想, 构建平面几何中的三角形,再 利用正(弦)定理进行合理转化,巧妙求得三 角函数的值。 四、换元化构建三角形 例4 (原