05 值得回味的三角形的“四心”-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■袁有亮 三角形的“四心”是三角形的重要性质, 下面举例说明三角形的“四心”在平面向量中 的应用,供大家学习与参考。 一、三角形的重心 例1 已知A,B,C 是平面上不共线的 三 点,若 动 点 P 满 足 OP→ = OA→ + λ AB→ |AB→|sinB + AC→ |AC→|sinC ,λ∈(0,+∞), 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )。 A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 解:(方法1)由正弦定理可得 |AB→| sinC = |AC→| sinB ,即|AB→|sinB=|AC→|sinC,所以OP→ -OA→=λ AB → |AB→|sinB + AC→ |AC→|sinC ,即AP→ = λ |AB→|sinB (AB→+AC→)= 2λ |AB→|sinB · AM→(其中 M 为BC 的中点),所以P∈AM, 所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心。 应选A。 (方法2)作AD⊥BC 于点D(图略),即 AD 是BC 边上的高,则 OP→-OA→=AP→= λ AB→ |AB→|sinB + AC→ |AC→|sinC = λ|AD→|(AB→+ AC→)= 2λ |AD→| AM→(其中 M 为BC 的中点),即 AP→ 与AM→ 共线,所以动点P 的轨迹一定通 过△ABC 的重心。应选A。 评注:三角形的重心到顶点的距离与重 心到对边中点的距离之比为2∶1。O 是 △ABC 的重心⇔OA→+OB→+OC→=0。 二、三角形的内心 例2 已知△ABC,I为三角形所在平面 上的一点,且点I满足a·IA→+b·IB→+c· IC→=0,则点I为△ABC 的( )。 A.外心 B.垂心 C.重心 D.内心 解:如图1所示,在AB,AC 上分别取点 D,E,使得 AD→=AB → c ,AE→=AC → b ,则 AD→ = AE→ =1。作 菱 形 ADFE,则 AF→=AD→+ AE→=AB → c + AC→ b ,所以AF为∠BAC的平分线。 图1 因为a·IA→+b·IB→+c·IC→=0,所以 a·IA→+b· IA→+AB→ +c· IA→+AC→ = 0,所以AI→= ba+b+c·AB →+ ca+b+c·AC → = bc a+b+c · AB → c + AC→ b = bca+b+cAF→,所 以A,I,F 三点共线,即点I 在∠BAC 的平 分线上。同理可得,点I 在其他两个角的平 分线上。 故点I是三角形的内心。应选D。 评注:三角形的内心是三个内角的角平 分线的交点(即三角形内切圆的圆心),它到 三条边的距离相等。O 是△ABC 的内心⇔ OA→ · AB → |AB→| + AC→ |AC→| =OB→ · BA → |BA→| + BC→ |BC→| =OC→· CA → |CA→| + CB→ |CB→| =0。向 量 λ AB→ |AB→| + AC→ |AC→| (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(即∠BAC 的平分线所在的直线)。 三、三角形的外心 例3 设O 是平面ABC 内的一定点,P 为平面ABC 内一动点,若(PB→-PC→)·(OB→ 11 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 +OC→)=(PC→-PA→)·(OC→+OA→)=(PA→- PB→)· (OA→ +OB→)=0,则 O 为 △ABC 的( )。 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解:由 (PB→ -PC→)· (OB→ +OC→)= (PC→-PA→)·(OC→+OA→)=(PA→-PB→)· (OA→+OB→)=0,可得 CB→·(OB→+OC→)= AC→·(OC→+OA→)=BA→·(OA→+OB→)=0,即 (OB→-OC→)·(OB→+OC→)=(OC→-OA→)· (OC→+OA→)=(OA→-OB→)·(OA→+OB→)=0, 也即|OA→|2=|OB→|2=|OC→|2,所以|OA→|= |OB→|=|OC→|。 故O 为△ABC 的外心。应选B。 评注:三角形的外心是三边的中垂线的 交点(三角形外接圆的圆心),外心到三个顶 点的距离相等。 四、三角形的垂心 例4 设O 是平面上一定点,A,B,C 是 平面上不共线的三点,若动点P 满足OP→= OA→+λ AB → |AB→|cosB + AC→ |AC→|cosC ,λ∈[0, +∞),则 点 P 的 轨 迹 一 定 经 过 △ABC 的( )。 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解:因 为 OP→ ·BC→ =OA→ ·BC→ + λ AB→·BC→ AB→ cosB + AC→·B