04 “套路”三策略,破解平面向量问题-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■杜海洋 高考试题是经过命题者千锤百炼、字斟 句酌编成的,最鲜明地检验了同学们对相关 知识的掌握情况,具有较高的权威诊断性和 学习的指导性,所以同学们在学习中对涉及 的高考题决不能掉以轻心。下面就一道平面 向量考题,从三个角度进行解析。 一、考题呈现 (2019年高考江苏卷)如图1,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE= 2EA,AD 与CE 交于点O。 图1 若AB→·AC→=6AO→·EC→,则ABAC的值是 。 二、试题解析 1.基底法 利用平面向量基本定理解决问题的一般 思路:先选择一组基底,再用该基底表示向 量。平面向量基本定理的实质就是利用平行 四边形法则或三角形法则进行向量的加减运 算和数乘运算。 解:设 AO→=λAD→=λ2(AB →+AC→)。因 为 AO→=AE→+EO→=AE→+μEC→=AE→+ μ(AC →-AE→)=(1-μ)AE→+μAC→= 1-μ 3 AB → +μAC →,所以 λ 2= 1-μ 3 , λ 2=μ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 λ= 1 2 , μ= 1 4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 AO→=12AD →=14(AB →+AC→),EC→=AC→- AE→=-13AB →+AC→,所以6AO→·EC→=6× 1 4 (AB→+AC→)· -13AB →+AC→ =32 -13AB→2 + 2 3AB →·AC→+AC→ 2 = - 12AB→2+AB→· AC→+32AC →2,所以 AB→·AC→=-12AB →2+ AB→·AC→+32AC →2,所以1 2AB →2=32AC →2,所 以 AB→ 2 AC→ 2=3,所以 |AB→| |AC→| = 3,即 AB AC= 3 。 评注:求AB AC 的值,目的是利用平面向量 基本定理将已知条件转化为AB→ 与AC→ 的基 底形式,进而得到线段AB 与AC 的关系。 2.几何法 平面几何的性质与向量运算法则的有机 结合,构造恰当的几何图形解决向量问题,渗 透了数形结合思想与转化思想。 解:(方法1)过点D 作DH∥EC 交AB 于点H(如图1)。因为点 D 为BC 的中点, 所以BH=HE。又因为 BE=2EA,所以 HE=AE,即点O 为AD 的中点。 由AB→·AC→=6AO→·EC→,可得 AB→· AC→=3AD→·(AC→- 13AB →)= 32(AB →+ AC→)· AC→-13AB → ,化简整理得3AC→2= AB→ 2 ,即3AC→ 2= AB→ 2,所以ABAC= |AB→| |AC→| = 3。 (方法2)过点 D 作DH∥AB 交EC 于 点H(作法略)。因为点D 为BC 的中点,所 以CH=HE 且DH= 1 2BE 。又因为BE= 2EA,所以DH=AE。由△AEO∽△DHO, 可知 O 为 AD 的 中 点。由 AB→ ·AC→ = 9 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 6AO→·EC→,可 得 AB→ · AC→ =3AD→ · AC→-13AB → = 32 (AB→ + AC→ ) · AC→-13AB → ,化简整理得3AC→2=AB→2,即 3AC→ 2= AB→ 2,所以ABAC= |AB→| |AC→| = 3。 (方法3)过点E 作EH∥BC 交AD 于点 H(作法略)。因为BE=2EA,所以 AH= 1 3AD ,EH= 1 3BD 。又因为点 D 为BC 的 中点,所 以 EH = 1 3DC 。由 △HEO ∽ △DCO,可得OH= 1 3OD 。由AO=AH+ HO= 1 3AD+ 1 3OD = 1 3 (AO+OD)+ 1 3OD ,化简得AO=OD,即点O 为AD 的中 点。下同方法2(略)。 评注:以上三种方法都是围绕点O 为线 段AD 的中点展开的,利用中点或等分点作 对应边的平行线是解题的关键,再利用平行 关系构造线段对应成比例或相似三角形对应 边成比例,进一步找到所求线段之间的长度 关系。 3.坐标法 对于条件中包含向量夹角与长度问题, 可以考虑建立适当的坐标系,应用坐标法来 统一表示向量,从而达到转化问题,简化求解 的目的。 解:以BC 所在的直线为x 轴,点 D 为 坐标原点,建立坐标系(如图2),则D(0,0)。 图2 设B(-1,0),C(1,0),A(m,n)。因为 BE=2EA,所以点E 2m-13 ,2n 3 。易得直 线EC 的方程为(m-2)y=(x-1)n,直线 AD 的方程为my-nx=0。 由上可得方程组 (m-2)y=(x-1)n, my-nx=0, 解 得 x= m 2 , y= n 2