03 例析立体几何初步的学习要点-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■肖小翠 立体几何初步是高中数学的重要知识,也 是高考的必考知识,要想学好这部分内容,离 不开学习要点的总结与归纳。下面为大家整 理了这部分的学习要点,大家一起来看看吧。 要点1:空间几何体的结构特征、表面积 和体积 熟练掌握空间几何体的结构特征,直观 图的转化,几何体表面积、体积公式的应用, 重视数形结合思想的应用。空间几何体的表 面积与体积的求法:多面体的表面积是各个 面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部 分的处理;旋转体的表面积注意其侧面展开 图的应用;求复杂几何体的体积常用割补法、 等积法。 例1 (多选题)下列命题中正确的是 ( )。 A.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的 平行四边形 B.在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截 面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 C.存在每个面都是直角三角形的四面体 D.棱台的上、下底面可以不相似,但侧 棱长一定相等 根据棱柱的定义,棱柱的各 个侧面都是平行四边形,但不一 定全等,A不正确。在直四棱柱中,两个过相 对侧棱的截面的交线平行于侧棱,且垂直于底 面,B正确。正方体ABCD-A1B1C1D1(图略) 中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形, C正确。棱台的上、下底面相似且是对应边平 行的多边形,各侧棱的延长线交于一点,但是 侧棱长不一定相等,D不正确。应选BC。 要点2:与球有关的切、接问题 与球相关问题的解题策略:作适当的截面 (如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体, 则截面一要过球心,二要过长方体或正方体的 两条体对角线,才有利于解题;对于“内切”和 “外接”问题,首先要弄清几何体之间的相互关 系,主要是指特殊的点线面之间的关系,然后 把相关的元素放到这些关系中来解决。 例2 如图1,三棱锥P-ABC 的四个顶 点在球O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F 分别是PA, AB 的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为 。 图1 因 为 PA = PB = PC, △ABC 为边长为2的等边三角 形,所以 P-ABC 为 正 三 棱 锥,所 以 PB⊥ AC。因为E,F 分别为PA,AB 的中点,所 以EF∥PB,所以EF⊥AC。又 EF⊥CE, CE∩AC=C,所以 EF⊥平面 PAC,所以 PB⊥平面 PAC,所以∠APB=90°,所 以 PA=PB=PC= 2。 三棱锥 P-ABC 为正方体的一部分,结 合正方体的外接球可得2R= 2+2+2= 6,即R= 6 2 ,所以球O 的体积V= 4 3πR 3= 4 3π× 66 8 = 6π 。 要点3:平面的基本事实及应用 证明共面的方法:先确定一个平面,再证 其余的线(或点)在这个平面内;证明两平面 重合。证明共线的方法:先由两点确定一条 直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证 明这些点都在同一条特定直线上。证明线共 点问题的常用方法:先证其中两条直线交于 7 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 一点,再证其他直线经过该点。点线面位置 关系的判断,注意借助长方体或正方体模型, 直观感知并认识空间点线面的位置关系。异 面直线的判断常用的结论:平面外一点A 与 平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线。 例3 (多选题)已知m,n是两条不同的 直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题错 误的是( )。 A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n 平行于同一平面,则 m 与n 平行 C.若α,β不平行,则在α 内不存在与β 平行的直线 D.若m,n 不平行,则 m 与n 不可能垂 直于同一平面 A中,垂直于同一个平面的 两个平面可能相交也可能平行, A错误。B中,平行于同一个平面的两条直 线可能平行、相交或异面,B错误。C中,若 两个平面相交,则一个平面内与交线平行的 直线一定和另一个平面平行,C错误。D中, 若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直 线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可 能垂直于同一个平面,D正确。应选ABC。 要点4:平行关系的综合应用 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的 相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合 问题的关键。 例4 如图2,已知点 S 是正三 角 形 ABC 所在平面外的一点,且SA=SB=SC, SG 为△SAB 的高,D,E,F 分别是AC,BC, SC 的中点,试判断SG 与平面DEF 的位置 关系,并给予证明。 图2 SG 与平面DEF 的位置关 系:SG∥平面DEF。 证明如下。由EF 为△SBC 的中位线, 可得EF∥SB。因为EF⊄平面SAB,SB⊂ 平面SAB,所以EF∥平面SAB。同理可得, DF∥平面SAB。因为 EF∩DF=F,EF,