02 平面向量及其应用考点赏析-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 平面向量及其应用考点赏析 ■季伟松 平面向量是高中数学的重要内容,是高 考的常考点。平面向量具有代数与几何的 “双重身份”,它是联系多个知识点的媒介,更 是高中数学知识的一个交汇点。 考点1:平面向量的基本概念 平行向量就是共线向量,二者是等价的; 非零向量的平行具有传递性;相等向量一定 是平行向量,而平行向量未必是相等向量;相 等向量具有传递性。向量与数量不同,数量 可以比较大小,向量不能比较大小,但向量的 模是非负实数,可以比较大小。向量可以平 移,平移后的向量与原向量是相等向量。非 零向量a与 a |a| 的关系:a |a| 是与a同方向的 单位向量。 例1 设a 是非零向量,λ 是非零实数, 下列结论正确的是( )。 A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a 解:当λ<0时,a与-λa 的方向相同,A 错误。当|λ|<1时,B不成立。因为λ是非 零实数,所以λ2>0,因此a 与λ2a 的方向相 同,C正确。|-λa|是一个实数,|λ|a 是一 个向量,D错误。应选C。 考点2:平面向量的线性运算 向量加法和减法均适合三角形法则;共 起点的向量求和用平行四边形法则,求差用 三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形 法则。求参数问题,可以通过向量的运算将 向量表示出来,与含参数的表达式进行比较, 再求出参数的值。 例2 在△ABC 中,点 M 为AC 上的 点,且AM→=12MC →,若BM→=λBA→+μBC→,则 λ-μ= 。 解:由AM→=12MC →,可得 AM→=13AC →, 所以BM→=BA→+AM→=BA→+13AC →=BA→+ 1 3 (BC→-BA→)=23BA →+ 13BC →。又 因 为 BM→=λBA→+μBC→,所以λ= 2 3 ,μ= 1 3 ,所以 λ-μ= 1 3 。 考点3:共线向量定理及其应用 对于向量a,b,若存在实数λ,使得a= λb(b≠0),则a 与b 共线;若存在实数λ,使 得AB→=λAC→,则A,B,C 三点共线。利用共 线向量定理及向量相等的条件,可求参数的 值。 例3 设两个非零向量a和b不共线。 (1)若AB→=a+b,BC→=2a+8b,CD→= 3(a-b),求证:A,B,D 三点共线。 (2)试确定实数k,使得ka+b 和a+kb 共线。 解:(1)因为 AB→=a+b,BC→=2a+8b, CD→=3(a-b),所以BD→=BC→+CD→=2a+ 8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB→,所以AB→ 与 BD→ 共线。又 AB→ 与BD→ 有公共点B,所以 A,B,D 三点共线。 (2)因为ka+b与a+kb共线,所以存在 实数λ,使得ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a =(λk-1)b。又a,b 是两个不共线的非零 向量,所以 k-λ=0, λk-1=0, 所以k2-1=0,即k= ±1。故当k=±1时,向量ka+b 和a+kb 共线。 考点4:平面向量基本定理及其应用 用平面向量基本定理表示向量的实质是 利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加、减或数乘运算。用平面向量基本定理 解决问题的一般思路是先选择一组基底,并 运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式,再通过向量的运算来解决。 例4 如图1所示,在△ABC 中,AD→= 1 3DC →,P 是 线 段 BD 上 一 点,若 AP→ = 5 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 mAB→+16AC →,则实数m 的值为( )。 图1 A. 1 3 B. 2 3 C.2 D. 1 2 解:设BP→=λBD→。因为AD→=13DC →,所 以AD→=14AC →,所以AP→=AB→+BP→=AB→+ λBD→=AB→+λ(BA→+AD→)=(1-λ)AB→+ 1 4λAC →。又因为 AP→=mAB→+16AC →,所以 1-λ=m, 1 4λ= 1 6 , 解得λ=23,m=13。应选A。 考点5:平面向量的数量积的应用 利用数量积求模是数量积的重要应用, 求向量的模的几种处理方法:a2=a·a= |a|2 或|a|= a·a;|a±b|= (a±b)2 = a2±2a·b+b2;若a=(x,y),则|a|= x2+y2。求向量夹角的两种方法:当向量 a,b是非坐标形式时,求向量a 与b 的夹角 θ,需求出a·b及|a|,|b|或得出它们之间的