01 高中数学必修第二册典型题型解析-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■孙艳秋 一、平面向量及其应用 例1 如图1,在△ABC 中,a,b,c分别 是角 A,B,C 所 对 的 边,a=4 3,c=4, ∠BAC= 2π 3 ,P 为△ABC 内部(包含边界) 的一动点,且PA=1。 图1 (1)求|AC→+AB→|的值。 (2)求PB→·PC→ 的取值范围。 解:(1)在△ABC 中,由余弦定理得a2= b2+c2-2bccosA,即48=b2+16+4b,解得 b=4或b=-8(舍去),所以|AC→+AB→|2= (AC→+AB→)2=AC→ 2 +AB→ 2 +2AC→·AB→=16。 故 AC→+AB→ =4。 (2)以A 为原点,AB 所在直线为x 轴, 建立平面直角坐标系(作法略)。设∠PAB =α 0≤α≤ 2π 3 ,则点 P(cosα,sinα)。由 (1)知,AB=AC=4,∠BAC= 2π 3 ,所以点 B(4,0),点 C(-2,2 3),所以 PB→=(4- cosα,-sinα),PC→=(-2-cosα,2 3- sinα)。所以PB→·PC→=-23sinα-2cosα -7=-4sinα+ π 6 -7。因为0≤α≤2π3, 所以 π 6≤α+ π 6≤ 5π 6 ,所以1 2≤sinα+ π 6 ≤ 1,所以-11≤PB→·PC→≤-9,所以PB→·PC→ 的取值范围是[-11,-9]。 提炼:有关向量数量积的求解策略:一是 利用数量积定义、向量的有关运算;二是建立 平面直角坐标系,利用坐标运算求解。 二、复数 例2 (多选题)已知z1,z2 为复数,下列 命题不正确的是( )。 A.若z1=z2,则 z1 = z2 B.若 z1 = z2 ,则z1=z2 C.若z1>z2 则 z1 > z2 D.若 z1 > z2 ,则z1>z2 解:当两个复数相等时,模一定相等,A 正确。当两个复数的模相等时,复数不一定 相等,如 1-i = 1+i ,但1-i≠1+i,B不 正确。若z1>z2 则z1,z2∈R,z1 不一定 比 z2 大,如2>-3,但|2|<|-3|,C不正 确。当z1,z2 都是虚数时,不能比较大小,D 不正确。应选BCD。 提炼:复数相等的充要条件是“化虚为 实”的主要依据,多用来求解参数问题。解决 复数相等的关键是利用实部与实部相等、虚 部与虚部相等列出方程(组)求解。 三、立体几何初步 例3 如图2,P 是正方形ABCD 所在 平面外 一 点,PA=PC=AB=2,且 平 面 PAC⊥平面 ABCD,E,F 分别是线段AB, PC 的中点。 图2 (1)求证:BD⊥PC。 (2)求证:EF∥平面PAD。 (3)求点E 到平面PAD 的距离。 证明:(1)由正方形 ABCD,可得BD⊥ 3 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月 AC。由平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC ∩平面ABCD=AC,可得BD⊥平面PAC。 因为PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC。 (2)取 PD 中点G。在△PDC 中,因为 F,G 分别是PC,PD 的中点,所以FG∥CD, 且FG= 1 2CD 。 因为E 是AB 中点,所以AE∥CD,AE = 1 2CD 。所以 AE∥GF,AE=GF,即四边 形AEFG 是平行四边形,所以EF∥AG。 又AG⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,故 EF∥平面PAD。 (3)设AC∩BD=O。因为PA=PC= 2,O 为AC 中点,所以PO⊥AC。 因 为 平 面 PAC⊥ 平 面 ABCD,平 面 PAC∩平面ABCD=AC,PO⊂平面PAC, 所以 PO⊥平 面 ABCD,即 PO 是 三 棱 锥 P-ADE 的高。 由 AB=2,可得 AO=OD= 2,所以 PO= PA2-OA2= 2。 因 为 Rt △POD ≌Rt △POA,所 以 PA=PD=2。 设点E 到平面PAD 的距离为d。 因为VE-PAD=VP-ADE,所以 1 3S△PAD ·d= 1 3S△ADE ·PO,即S△PAD·d=S△ADE·PO,可 得 3 4×4×d= 1 2×2×1× 2 ,解得d= 6 3 , 即点E 到平面PAD 的距离为 6 3 。 提炼:求点到平面的距离的两种常用方 法:构造法,根据定义构造垂直于平面的直 线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形 中求解;等积变换法,将所求距离看作某个几 何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方 程求解。 四、概率 例4 羽毛球比赛规则:①21分制,每球 取胜加1分,由胜球方发球;②当双方比分为 20∶20之后,领先对方2分的一方赢得该局 比赛,当双方比分为29∶29时,先取得30分 的一方赢得该局比赛。经过鏖战,甲乙比分 为27∶28