19 概率常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■简春梅 概率是每年高考的必考内容,高考主要 考查随机事件的概率,考查古典概型的概率, 考查互斥事件、对立事件的概率,考查概率与 频率,考查事件的相互独立性等。 题型1:用随机事件的频率估计概率 频率反映了一个随机事件出现的频繁程 度,频率是随机的,而概率是一个确定的值, 通常用概率来反映随机事件发生的可能性的 大小,有时也用频率来作为随机事件概率的 估计值。 例1 某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每 瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元 的价格当天全部处理完。根据往年销售经 验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有 关。如果最高气温不低于25,需求量为500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量 为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为 200瓶。为了确定六月份的订购计划,统计 了前三年六月份各天的最高气温数据,得到 了频数分布表(如表1)。 表1 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高 气温位于该区间的概率。 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量 不超过300瓶的概率。 (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润 为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进 货量为450瓶时,写出Y 的所有可能值,并估 计Y 大于零的概率。 解:(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶,当且仅当最高气温低于25时。由表 中 数 据 知,最 高 气 温 低 于 25 的 频 率 为 2+16+36 90 =0.6 ,所以这种酸奶一天的需求 量不超过300瓶的概率的估计值为0.6。 (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶 时,若最高气温不低于25,则Y=6×450- 4×450=900;若最高气温位于区间[20,25), 则Y=6×300+2×(450-300)-4×450= 300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2× (450-200)-4×450=-100。所以Y 的所 有可能值为900,300,-100。 Y 大于零,当且仅当最高气温不低于20 时。由表中数据知,最高气温不低于20的频 率为 36+25+74 90 =0.8 ,所以Y 大于零的概 率的估计值为0.8。 题型2:互斥事件、对立事件的概率 不可能同时发生的两个事件为互斥事 件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两 事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件。 由各个事件所含的结果组成的集合交集为空 集,则事件互斥;事件A 的对立事件A 所含 的结果组成的集合,是全集中由事件A 所含 的结果组成的集合的补集。 例2 某商场有奖销售中,购满100元商 品得1张奖券,多购多得。1000张奖券为一 个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二 等奖50个。设1张奖券中特等奖,一等奖, 二等奖的事件分别为A,B,C。 求:(1)P(A),P(B),P(C)。 (2)1张奖券的中奖概率。 (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖 的概率。 34 经典题突破方法 高一数学 2023年6月 解:(1)由 题 意 可 得,P(A)= 1 1000 , P(B)= 1 100 ,P(C)= 1 20 。 (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等 奖、二等奖。设“1张奖券中奖”这个事件为 M,则 M=A+B+C。因为A,B,C 两两互 斥,所以P(M)=P(A+B+C)=P(A)+ P(B)+P(C)= 61 1000 。 (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等 奖”为事件N,则事件 N 与“1张奖券中特等 奖或中一等奖”为对立事件,所以 P(N)= 1-P(A+B)=1- 11000+ 1 100 =9891000。 题型3:古典概型的概率 古典概型的概率求解的三个步骤:求出所 有样本点的个数n;求出事件A 包含的所有样 本点的个数m;代入公式P(A)= m n 求解。 例3 已知某校甲,乙,丙三个年级的学 生志愿者人数分别为240,160,160。现采用 分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老 院参加献爱心活动。 (1)应从甲,乙,丙三个年级的学生志愿 者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C, D,E,F,G 表示,现从中随机抽取2名同学 承担敬老院的卫生工作。①试用所给字母列 举出所有可能的抽取结果;②设 M 为事件 “抽取的2名同学来自同一年级”,求事件 M 发生的概率。 解:(1)由题意得甲,乙,丙三个年级的学 生志愿者人数之比为3∶2∶2。由于采用分 层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从 甲,乙,丙三个年级的学生志愿者中分别抽取