18 统计问题常见考点聚焦-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■张丽园 赵邦一 统计问题是每年高考的必考点,高考主 要考查抽样方法,统计图表,总体百分位数的 估计,总体集中趋势的估计和总体离散程度 的估计等。下面就统计问题的常见考点进行 举例分析。 考点1:抽样方法 简单随机抽样的三大特点:总体个体数 有限;逐个抽取;等可能抽取。简单随机抽样 常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情 况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的 情况)。分层抽样的抽样比= 该层样本量n 总样本量N = 该层抽取的个体数 该层的个体数 ,在分层抽样中,如果第 一层的样本数量为m,平均值为x,第二层的 样本数量为n,平均值为y,则样本的平均值 为 mx+ny m+n 。解决系统抽样问题的两个关键 步骤:分组的方法应依据抽取比例而定,根据 定义每组抽取一个样本;起始编号的确定应 用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定, 其他编号便随之确定。 例1 用简单随机抽样的方法从含有10 个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本, 其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与 “第二次被抽到”的可能性分别是( )。 A. 1 10 ,1 10 B. 3 10 ,1 5 C. 1 5 ,3 10 D. 3 10 ,3 10 解:(方法1)在抽样过程中,个体a 每一 次被抽中的可能性是相等的。因为总体容量 为10,所以个体a“第一次被抽到”的可能性与 “第二次被抽到”的可能性均为1 10 。应选A。 (方法2)第一次被抽到,显然为 1 10 ;第二 次被抽到,首先第一次不能被抽到,第二次才 被抽到,可能性为9 10× 1 9= 1 10 。应选A。 考点2:统计图表 扇形图可以清楚地表示出各部分数量同 总数之间的关系;折线图可以显示随时间(根 据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非 常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋 势。频率分布直方图中纵轴上的数据是各组 的频率除以组距的结果,不要误以为纵轴上 的数据是各组的频率,不要和条形图混淆;频 率分布 直 方 图 中 各 小 长 方 形 的 面 积 之 和 为1。 例2 为了解某地农村经济情况,对该 地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家 庭年收入的调查数据整理得到如图1所示的 频率分布直方图。 图1 根据此频率分布直方图,下面结论中不 正确的是( )。 A.该地农户家庭年收入低于4.5万元 的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万 元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不 超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭 年收入介于4.5万元至8.5万元之间 解:由频率分布直方图可知,该地农户家 庭年收入低于4.5万 元 的 农 户 比 率 约 为 0.02+0.04=0.06,A正确。该地农户家庭 年收入不低于10.5万元的农户比率约为 14 经典题突破方法 高一数学 2023年6月 0.02+0.02+0.02+0.04=0.1,B正确。该 地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02+ 4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8× 0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12× 0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5,C 不正确。该地农户家庭年收入介于4.5万元 至8.5万元之间的比率约为0.1+0.14+ 0.2+0.2=0.64>0.5,D正确。应选C。 考点3:总体百分位数的估计 计算一组数据p%分位数的方法:按照 从小到大排列原始数据;计算i=np%;若i 不是整数,大于i的最小整数为j,则p%分 位数为第j项数据,若i是整数,则p%分位 数为第i项与第(i+1)项数据的平均数。根 据频率分布直方图计算样本数据的百分位数 的方法与策略:先要理解频率分布直方图中 各组数据频率的含义,其次估计百分位数在 哪一组,再应用公式求解;确定要求第p 百分 位数所在分组为[A,B),由频率分布表或频 率分布直方图可知,样本中小于A 的频率为 a,小于B 的频率为b,所以第p 百分位数= A+组距×p -a b-a 。 例3 从某珍珠公司生产的产品中,任 意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g) 如下:7.9,9,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5, 9.9,7.8,8.3,8。 (1)分别求出这组数据的第25,50,95百 分位数。 (2)请你找出珍珠质量较小的前15%的 珍珠质量。 (3)若用第25,50,95百分位数把公司生 产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优 品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等 级的划分标准。 解:(1)将 所 有 数 据 从 小 到 大 排 列 得 7.8,7.9,8,8.3,8.4,8.