17 复数新定义,知识巧交汇-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■宁 强 以复数为背景的新定义问题是新高考数 学考查的一个热点。作为高中数学的一个基 本知识点,复数经常作为问题背景,巧妙借助 新定义等方式,与其他相关知识形成交汇与 融合,以“问题”为核心,以“探究”为途径,以 “发现”为目的,很好融入创新意识与创新精 神,成为高中数学中一道“亮丽的风景线”。 一、复数中的创新运算 例1 对任意复数z1,z2,定义z1*z2= z1z2,其中z2 是z2 的共轭复数。对任意复 数z1,z2,z3,有如下结论: ①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3); ②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3); ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);④z1*z2= z2*z1。 其中正确结论的序号为 。 分析:根据题设中的新定义运算,结合对 应的各个选项,通过共轭复数与复数的四则 运算加以判断即可。 解:①中,由(z1+z2)*z3=(z1+z2)z3 =z1z3+z2z3,(z1*z3)+(z2*z3)=z1z3+ z2z3,可知结论成立,①正确。②中,由z1* (z2+z3)=z1(z2+z3)=z1(z2+z3)=z1z2 +z1z3,(z1*z2)+(z1*z3)=z1z2+z1z3, 可知结论成立,②正确。③中,由(z1*z2)* z3=z1·z2·z3,z1*(z2*z3)=z1·z2z3= z1·z2·z3,可知结论不成立,③错误。④ 中,由z1*z2=z1z2,z2*z1=z2z1,可知结 论不成立,④错误。答案为①②。 借助复数已有的概念与 复数的相关运算,通过巧妙的 创新定义,在复数知识的理解与掌握的基础 上进一步加以提升与拓展,重在创新意识与 创新应用。 二、复数与函数的创新交汇 例2 对任意复数z=x+yi(x,y∈R), 定义g(z)=3x(cosy+isiny)。 (1)若g(z)=3,求复数z。 (2)若复数z=a+bi(a,b∈R)中的a为 常数,则令g(z)=f(b),对任意b,是否一定 有常数 m(m≠0),使得f(b+m)=f(b)? 若存在,则m 是否唯一? 请说明理由。 分析:由新定义的创新函数,构建对应的 方程组,由此求出相应的复数z;利用函数之 间的关系f(b+m)=f(b),构建方程组,结 合三角函数的求解进行分析与处理,并判断 参数的唯一性。 解:(1)因为g(z)=3x(cosy+isiny)= 3,所以 3x·cosy=3, 3x·siny=0, 可得 siny=0, cosy=1, 3x=3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=1, y=2kπ,k∈Z, 所 以 所 求 的 复 数 z=1+ 2kπi,k∈Z。 (2)假设一定有常数 m(m ≠0),使得 f(b+m)=f (b)。由 此 可 得 方 程 组 3a·cos(b+m)=3a·cosb, 3a·sin(b+m)=3a·sinb, 解此方程组可 得 cos(b+m)=cosb, sin(b+m)=sinb。 据此可知,存在 m= 2kπ,k∈Z,此时m 不唯一。 在复数的创新背景下,合 理设置存在性与探究性问题, 结合函数值与函数之间的关系,综合复数、函 数、三角函数的相关知识,实现知识的交汇与 融合。 三、复数的综合交汇应用 例3 分式线性变换又称为莫比乌斯变 换,它是定义在复数集中形如ω=f(z)= az+b cz+d (ad-bc≠0)的变换,其中ω 称为z的 “像”,z称为ω 的“原像”。 (1)若a=b=c=-d=1,求i的“像”以 及1+i的“原像”。 93 创新题追根溯源 高一数学 2023年6月 (2)若a=b=i,c=-d=-1,求证: Imω>0(这里Imω 表示复数ω 的虚部)的充 要条件是|z|<1。 (3)若a=c=1,b=-d=-i,z 满足 0<Imz<1,求z 的“像”在复平面上所构成 图形的面积。 分析:根据参数值先整理ω=f(z),再令 z=i,ω=1+i,即可求得i的“像”以及1+i 的“原像”;根据参数值整理ω=f(z),设z= m+ni,整理得到ω 并确定其虚部,结合复数 的几何意义通过充要条件进行双向证明;根 据参数值整理ω=f(z),设ω=m+ni,代入 可得z,根据0<Imz<1确定z 的“像”的轨 迹并结合图形确定其面积。 解:(1)由题意可知ω=f(z)= z+1 z-1 。 当z=i时,ω=f(i)= i+1 i-1=-i ,即i的 “像”为-i。 当ω=1+i时,由1+i= z+1 z-1 ,解得z= 1-2i,即1+i的“原像”为1-2i。 (2)由题意可知ω=f(z)= iz+i -z+1 。 设 z = m +ni,且 z ≠1,则 ω