16 立体几何探究性问题透析-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■王 飞 刘大鸣(特级教师) 立体几何中的探究性问题立意新颖,形 式多样。这类问题,既能够考查同学们的空 间想象力,又可以考查同学们的意志力和创 新意识,逐步成为近几年高考命题的热点和 今后命题的趋势之一。立体几何探究性问题 主要有两类:一是推理型,即探究空间中的平 行与垂直关系,可以利用空间线面关系的判 定与性质定理进行推理论证;二是计算型,即 对几何体中的空间角与距离、几何体的体积 等计算型问题的有关探究,此类问题通过求 角、求距离、求体积等的基本方法把这些探究 性问题转化为关于某个参数的方程,根据方 程解的存在性来解决。 题型1:“几何法”探究以“平行”为背景 的探究性问题 例1 如图1,在四棱锥 E-ABCD 中, AE⊥DE,CD ⊥ 平 面 ADE,AB ⊥ 平 面 ADE,CD=3AB。 图1 (1)求证:平面ACE⊥平面CDE。 (2)在线段 DE 上是否存在一点F,使 AF∥平面BCE? 若存在,求出 EF ED 的值;若不 存在,请说明理由。 (1)面面垂直的证明,可寻 求一个平面内的直线 AE 和另 一个平 面 CDE 垂 直。因 为 CD ⊥ 平 面 ADE,AE⊂平面 ADE,所以CD⊥AE。因 为AE⊥DE,所以AE⊥平面CDE。又因为 AE⊂平 面 ACE,所 以 平 面 ACE ⊥ 平 面 CDE。 (2)由 CD=3AB,CD⊥平 面 ADE, AB⊥平面ADE,取ED 上的一个三分之一 点F,构造特殊的平行四边形,利用平行关 系,得到AF∥平面BCE。 在线段 DE 上存在一点F,且 EF DE= 1 3 , 使AF∥平面BCE。 过点F 作FM∥CD 交CE 于 M(作法 略),则FM= 1 3CD 。因为CD⊥平面ADE, AB⊥平面ADE,所以CD∥AB。因为FM∥ CD,所以FM∥AB。因为CD=3AB,所以 FM=AB,所以四边形 ABMF 为平行四边 形,所以AF∥BM。又因为AF⊄平面BCE, BM⊂平面BCE,所以AF∥平面BCE。 透析:直线和平面平行的探究性问题,在 利用传统的几何方法证明时,一定要灵活运 用空间几何体的结构特征,要注意寻找平行、 垂直与长度之间的关系,其中依据性质定理 作辅助线和辅助面是求解的关键。本题取 ED 上的三分之一点F,构造平行四边形,凸 显空间问题平面化的特点。 题型2:“几何法”探究以“垂直”为背景 的探究性问题 例2 在长方体ABCD-A1B1C1D1 中, E,F 分别是AD,DD1 的中点,AB=BC=2, 过A1,C1,B 三点的平面截去长方体的一个 角 后,得 到 如 图 2 所 示 的 几 何 体 ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为 40 3 。 图2 73 创新题追根溯源 高一数学 2023年6月 (1)求证:EF∥平面A1BC1。 (2)求A1A 的长。 (3)在线段BC1 上是否存在点 P,使直 线 A1P 与 C1D 垂 直? 如 果 存 在,求 线 段 A1P 的长;如果不存在,请说明理由。 (1)利用几何特征和平行线 的 传 递 性 证 明 EF ∥ 平 面 A1BC1。在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,可 知 AB∥D1C1,AB =D1C1,所 以 四 边 形 ABC1D1 是平行四边形,所以AD1􀱀BC1。 因为E,F 分别是AD,DD1 的中点,所 以AD1∥EF,所以EF∥BC1。又EF⊄平面 A1BC1,BC1⊂平面 A1BC1,所以EF∥平面 A1BC1。 (2)利用等积法求A1A 的长。 由题意可得 VABCD-A1C1D1 =VABCD-A1B1C1D1 -VB-A1B1C1=2×2×AA1- 1 3× 1 2×2×2× AA1= 10 3AA1= 40 3 ,所以AA1=4。 (3)线线垂直合理转化为线面垂直,构造 与C1D 垂直的辅助面为直角梯形A1PQD1 即可。在平面CC1D1D 中,作D1Q⊥C1D 交 CC1 于Q,过Q 作QP∥CB 交BC1 于点P, 可得A1P⊥C1D,即存在点P 满足题意。 因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D⊂平面 CC1D1D,所以C1D⊥A1D1。又因为C1D⊥ D1Q,且A1D1∩D1Q=D1,所以C1D⊥平面 A1PQD1。又 A1P⊂ 平 面 A1PQD1,所 以 A1P⊥C1D。 下 面 求 线 段 A1P 的 长。 因 为 Rt△D1C1Q ∽ Rt △C1CD,所 以 C1Q CD = D1C1 C1C ,所以 C1Q=1。因为 PQ∥BC,所以 PQ= 1 4BC= 1 2 。又四边形 A1PQD1 为直 角 梯 形,且 高 D1Q = 5,所 以 A1P = 2- 1 2