15 解析复数的易错点与思维误区-《中学生数理化》高一数学2023年6月刊

■万海兵 对于复数问题,由于对概念理解不透,盲 目类比实数的一些性质和运算法则,因此解 题时容易出错。下面就复数的易错点与思维 误区进行解析。 易错点一:照搬实数系的运算法则或性 质引发错误 例1 下列命题中,正确命题的个数是 ( )。 ①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条 件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+ i>b+i;③若x2+y2=0,x,y∈C,则x= y=0。 A.0 B.1 C.2 D.3 错解:对于①,a+bi=c+di的充要条件 是a=c,b=d,x+yi=1+i的充要条件是 x=y=1,①是真命题。对于②,a>b的两边 同时加i得a+i>b+i,②是真命题。对于 ③,若x2+y2=0,则x=y=0,这是常见的 结论,③是真命题。应选D。 误区:以上三个结论是初学复数时经常 犯的错误,其原因是把实数系的运算法则或 性质用于复数系中。事实上,a+bi=c+di 的充要条件是a=c,b=d,且a,b,c,d∈R; a+i>b+i错在两个虚数是不能比较大小 的;当z∈C时,由z21+z22=0得到z1=z2=0 不总是成立的。 正解:对于①,由x=y=1可推出x+ yi=1+i,由于x,y∈C,故x+yi=1+i推不 出x=y=1,①是假命题。对于②,a+i与 b+i是两个虚数,不能比较大小,②是假命 题。对于③,x,y∈C,如x=1,y=i,这时 x2+y2=0,但x≠y,③是假命题。应选A。 实数扩充到复数后,实数 系的有些性质、运算法则对于 复数系并不适用,因此在解答复数问题时,不 能轻易将实数系中的一些运算法则或性质照 搬到复数系内。 变式训练1:已知z1=-4a+1+(2a2+ 3a)i,z2=2a+(a2+a)i,a∈R,且z1>z2,则 a的值是 。 提示:由z1>z2,可得 2a2+3a=0, a2+a=0, -4a+1>2a, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 a=0或a=- 3 2 , a=0或a=-1, a< 1 6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以a=0。 易错点二:主观臆断,混淆基本概念引发 错误 例2 设复数z1=1-i,z2= 3+i,其中 i为虚数单位,则 z1 z2 的虚部为( )。 A. 1+ 3 4 i B. 1+ 3 4 C. 3-1 4 i D. 3-1 4 错解:由z1 z2 = 1+i 3+i = (1+i)(3-i) (3+i)(3-i) = 1+ 3 4 + 3-1 4 i ,可 知 虚 部 为 3-1 4 i 。应 选C。 误区:上述解法认为“虚部”应该含有虚 数单位i,从而出现错选。事实上,在复数 z=a+bi(a,b∈R)中,a 是复数z 的实部,b 是复数z的虚部,即“虚部”是地地道道的实 数,不含虚数单位i。 正解:由z1 z2 = 1+i 3+i = (1+i)(3-i) (3+i)(3-i) = 1+ 3 4 + 3-1 4 i ,可 知 虚 部 为 3-1 4 。应 选D。 在进行复数运算时,经常 会出现主管臆断的情况,如复 53 易错题归类剖析 高一数学 2023年6月 数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数时,只考虑 a=0,忽视b≠0这种情况。 变式训练2:若复数z 满足(3-4i)z= 4+3i,则z的虚部为 。 提示:因为(3-4i)z= 4+3i =5,所以 z= 5 3-4i= 5(3+4i) (3-4i)(3+4i)= 3 5+ 4 5i ,所以z 的虚部为 4 5 。 易错点三:忽视in 的周期性,引发错误 例3 已知n∈N*,求值:(1+i)n·(1- i)6-n= 。 错解:原式=(1-i)6 1+i1-i n =(-2i)3· in=8in+1。 误区:求值,即求出该式子的所有可能取 值,in 的值具有以4为周期的特点,根据n 求 in 的值必须按被4整除余数为0,1,2,3四种 情况,进行分类讨论。i的周期性为:①i4k= 1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(k∈N*);ik+ ik+1+ik+2+ik+3=0(k∈N*)。 正解:原式=(1-i)6 1+i1-i n =(-2i)3· in=8in+1= -8(n=4k+1), -8i(n=4k+2), 8(n=4k+3), 8i(n=4k) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 (k∈N*)。 in 的周期性是高考中比 较常见的考点,同学们应引起 重视。 变 式 训 练 3: 已 知 复 数 z = i+i2+i3+…+i2019 1+i ,则z 在复平面内对应的 点位于第 象限。 提示:因为i4n+k=ik(n