内容正文:
1
2
y
x+
z
x+
x
y+
z
y+
x
z+
y
z-3 ≥ 12 ·
2 yx
·x
y +2
z
x
·x
z +2
z
y
·y
z -3 =
3
2
,当且仅当x=y=z 时,等号成立,此时a
=b=c,所以g(a,b,c)≥
3
2
。
结合(1)可知 f(x)≤
3
2
,故 f(x)≤
g(a,b,c)。
点评:涉及综合应用问题,同样是适当改
变一些相关条件中的多项式的形态结构特征,
对比柯西不等式的应用形式进行适当放缩与
变形处理,并会结合条件进行必要的恒等变形
与巧妙转化,综合其他相关知识,来达到利用
柯西不等式解决综合应用问题的目的。
作为不等式选讲中的基本知识点之一的
柯西不等式,是高考的基本考点之一,是重要
不等式中一个比较常用的不等式。在实际利
用柯西不等式求解相关代数式的最值、不等
式的证明及综合应用等问题中,经常要进行
结构特征的对比与关系式的巧妙处理,合理
应用凑项、拆项、分解、组合等技巧策略,确保
不等式成立时等号成立的条件,进而利用柯
西不等式来解决相关的问题。
(责任编辑 王福华)
■江苏省苏州高新区第一中学 周恩超
不等式选讲主要以中档题为主,主要考
查对象为一元函数与多元函数,一元函数主
要是双绝对值函数和单绝对值函数,以考查
双绝对值函数为主,多元函数主要是求最值
或证明不等式。第一问主要是解双绝对值不
等式或画双绝对值函数的图像,第二问则为
双绝对值不等式恒成立、双绝对值不等式能
成立或不等式证明等。重点考查同学们的数
学运算和逻辑推理等核心素养。本文针对在
学习和复习这部分内容中出现的易错题进行
错因分析,希望能更好地帮助同学们学好这
部分知识。
易错点一、不能正确使用零点分段法解
不等式,绝对值不等式求解技能掌握不到位
例 1 (2023年四川省南充高级中学
模拟预测)已知f x = x+1 - x-m ,
m>0。
(1)若m=2,求不等式f x >2的解
集;
(2)g x =f x - x-m ,若g x 的
图像与x 轴围成的三角形的面积不大于54,
求m 的取值范围。
易错分析:第(1)问不能正确去掉绝对值
或者运算能力不过关,缺少对细节的把握;第
(2)问不会转化成分段函数,结合图像法讨论
单调性,利用数形结合的思想求解。
正解:(1)若m=2,则f x = x+1 -
x-2 =
3,x>2,
2x-1,-1≤x≤2,
-3,x<-1。
当x>2时,f x =3>2成立;
当-1≤x≤2时,f x =2x-1>2,则
3
2<x≤2
;
当x<-1时,f x =-3<2,不符合题
意。
综上可得,不等式f x >2的解集为
3
2
,+∞ 。
(2)由 m>0,可 得 g(x)=|x+1|
-2|x-m|=
-x+2m+1,x>m,
3x+1-2m,-1≤x≤m,
x-2m-1,x<-1。
由
g x =0,解得x1=2m+1,x2=
2m-1
3
,则
x2-x1 =
-4m-4
3 =
4
3 m+1
。
当x<-1时,g x 单调递增;当-1≤
62
解题篇 易错题归类剖析
高考数学 2023年6月
x≤m 时,g x 单 调 递 增;当 x>m 时,
g x 单调递减。所以当x=m 时,g x 取
得最大值,即g x max=g m =m+1。
故g(x)的图像与x 轴围成的三角形的
面积为S=
1
2×
4
3 m+1
2=
2
3 m+1
2≤
54,解得-10≤m≤8,又m>0,则0<m≤8。
所以m 的取值范围为 0,8 。
总结:对于含绝对值的不等式的求解一
般采用零点分段法,其解题步骤大致为:①求
零点;②分区间去掉绝对值;③分别解各区间
上所得不等式;④取所得结果的并集。
注意
在分段时不要遗漏区间的端点值。也可以采
用图像法,通过作出函数的图像,利用数形结
合的思想求解。
易错点二、不能正确分辨恒成立与有解
问题
例 2 (2022年四川省成都七中期中)
已知函数f x = x-1 + x-3 。
(1)求不等式f x >4的解集;
(2)若f x ≥x2+m 的解集非空,求实
数m 的取值范围。
易错分析:解集非空即不等式有解,并不
需 要 m ≤ f x -x2 min,只 需 要 m ≤
f x -x2 max,没有弄清楚有解问题和恒成
立问题的区别。