09 柯西不等式的应用及其考查类型-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■江苏省靖江市斜桥中学 周琳娟 柯西不等式是不等式选讲部分中的重要 不等式之一,是该选修部分的主要内容之一, 也是历年高考数学试卷中的重要考点与热点 之一,题目创新新颖,常考常新,形式多样,变 化多端。在高考数学试卷中,经常借助柯西 不等式来求解相关代数式的最值问题,以及 对应不等式的证明问题等。 一、最值求解问题 应用柯西不等式求解最值问题时,其关 键是构建条件与结论之间的联系,通过合理 的恒等变形与配凑转化,使之符合柯西不等 式的结构,利用柯西不等式来转化所求的代 数关系式,联系条件来确定对应的最值问题。 例 1 已知函数f(x)=|2x-1|+ |x+1|。 (1)求不等式f(x)≥3的解集; (2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b, c均为正实数,且 1 2a+b+ 3 2c=m ,求a2+ b2+c2 的最小值。 分析:根据绝对值不等式得出函数f(x) 的分段函数表达式。(1)根据分段函数进行 分类讨论就能求出不等式f(x)≥3的解集; (2)利用分段函数的图像与性质确定f(x)的 最小值,进而确定参数 m 的值,即得到对应 关系式,利用柯西不等式的转化来确定相关 代数式的最小值。 解:f(x)= -3x,x≤-1, -x+2,-1<x<- 1 2 , 3x,x≥ 1 2 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (1)当x≤-1时,f(x)=-3x≥3,解得 x≤-1; 当-1<x< 1 2 时,f(x)=-x+2≥3,解 得x≤-1(舍去); 当x≥ 1 2 时,f(x)=3x≥3,解得x≥1。 综上可得,不等式f(x)≥3的解集为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。 (2)结合f(x)的图像与性质可知,当 x= 1 2 时,f(x)取得最小值 3 2 ,即1 2a+b+ 3 2c=m= 3 2 ,即a+2b+3c=3,利用柯西不 等式可知,(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+ 2b+3c)2=9,当且仅当a= 1 2b= 1 3c 时,等 号成立,可得a2+b2+c2≥ 9 14 ,所以a2+b2+ c2 的最小值为 9 14 。 点评:涉及代数式的最值求解问题,关键 是合理构建已知条件与所求代数式之间的联 系,合理配凑符合柯西不等式应用的结构特 征,从系数、参数等不同视角加以合理变形与 转化,进而利用柯西不等式来确定相关代数 式的最值问题。 二、不等式证明问题 应用柯西不等式来证明不等式问题时, 其关键是恰当变形,化为符合柯西不等式的 结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边 或右边具有一致形式时,就可应用柯西不等 式对这个式子进行缩小或放大,从而证得对 应的不等式成立。 例 2 (创新题)已知正数x,y,z满足 x+y+z=1。求证: (1) x2 2y+3z + y 2 2z+3x+ z2 2x+3y ≥ 1 5 ; (2)x3+y3+z3≥ x2+y2+z2 3 。 分析:(1)结合所要证明的不等式,引入 一次线性关系式进行配凑,利用柯西不等式 加以转化,并利用不等式的性质与恒等变形 42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年6月 来证明对应的不等式成立;(2)通过巧妙引入 (x2+y2+z2)2,利用柯西不等式的转化,并 结合基本不等式的应用加以综合,进而合理 巧妙证明对应的不等式成立。 证明:(1)由于正数x,y,z 满足x+y+ z=1,利用柯西不等式可得,[(2y+3z)+ (2z + 3x ) + (2x + 3y )] · x2 2y+3z+ y2 2z+3x+ z2 2x+3y ≥ 2y+3z · x 2y+3z + 2z+3x · y 2z+3x + 2x+3y· z 2x+3y 2 =(x+ y+z)2,当 且 仅 当 2y+3z x = 2z+3x y = 2x+3y z 时,等号成立。 所 以 x2 2y+3z + y 2 2z+3x + z2 2x+3y ≥ (x+y+z)2 (2y+3z)+(2z+3x)+(2x+3y) = (x+y+z)2 5(x+y+z) = 1 5 ,即 不 等 式 x 2 2y+3z + y2 2z+3x+ z2 2x+3y ≥ 1 5 成立。 (2)由于x+y+z=1,利用柯西不等式 可得(x2+y2+z2)2= x 3 2·x 1 2+y 3 2·y 1 2+ z 3 2·z 1 2 2≤(x3+y3+z3)·(x+y+z)= (x3+y3+z3)(x+y+z)2。由基本不等式 可得,x2+y2+z2≥xy+yz+zx,在此不等 式两边同乘以2,再加上x2+y2+z2,可得(x +y+z)2≤3(x2+y2+z2),所以(x2+y2+ z2)2≤