08 研究不等关系,探究考查类型--以高考不等式选为例-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣􀤣 S△OC1N= 1 2|OC1||ON|sin α,所以 S△OC1M S△OC1N = |OM| |ON| 。由 ρ =4cos θ, θ=α, 整理可得ρ1=4cos α, 即 | OM | = ρ1 = 4cos α; 由 ρcos θ+ρsin θ=3, θ=α, 整 理 可 得 ρ2 = 3 sin α+cos α ,即|ON|=ρ2= 3 sin α+cos α 。故 S△OC1M S△OC1N = |OM| |ON|= ρ1 ρ2 = 4 3cos α(sin α+cos α) = 2 3 (2sin αcos α+2cos2α)= 2 3 (sin 2α+ cos 2α+1)= 2 3 2sin2α+ π 4 +1 ≤23· (2+1),当且仅当α= π 8 时,等号成立,所以 △OC1M 与△OC1N 面积之比的最大值为 2 3 (2+1)。 点评:此类涉及坐标系与参数方程的简 单应用问题,经常在极坐标方程、参数方程、 直角坐标方程的互化与应用的基础上,合理 联系函数与方程、三角函数、不等式等其他相 关知识,实现不同知识间的交汇融合,以此为 背景来解决一些与之相关的简单应用问题, 全面考查同学们解决问题的能力。 坐标系与参数方程部分的考查是以解答 题的形式出现,以极坐标方程、参数方程、直 角坐标方程的互化与应用为基础,融入平面 解析几何、函数、方程等其他相关的知识,难 度中等,重点考查代数运算与逻辑推理等核 心素养,以及函数与方程思想、化归转化思想 与数形结合思想等。 (责任编辑 王福华) ■江苏省无锡市第三高级中学 孙 磊 高考中不等式选讲部分主要考查:不等 式的基本性质,含有绝对值的不等式的解法 与证明,不等式的证明方法,以及柯西不等 式、排序不等式、算术—几何平均不等式的应 用等,有时也直接渗透必修部分。 一、不等式的求解问题 不等式的求解问题主要涉及含有绝对值 的不等式的求解与应用,关键就是将含有绝对 值的不等式转化为函数表达式或利用绝对值 不等式的性质加以转化,结合一次不等式、二 次不等式及对应的不等式组加以求解与应用。 例 1 (2022年广西桂林市、梧州市高 考数 学 调 研 试 卷)已 知 函 数 f (x)= 2x- 1 a +|2x+a| (a>0)。 (1)若a=1,求不等式f(x)≤3的解集; (2)若f 3 2 <6,求a的取值范围。 分析:(1)当a=1时,根据绝对值不等式 得出函数f(x)的分段函数表达式,再分类讨 论就能求出不等式f(x)≤3的解集;(2)根 据条件推导出函数f 3 2 的表达式,再对关 于a的不等式分类讨论解含绝对值不等式, 即可求出a的取值范围。 解:(1)若a=1,则函数f(x)=|2x-1| +|2x+1|= -4x,x≤- 1 2 , 2,- 1 2<x< 1 2 , 4x,x≥ 1 2 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 当x≤- 1 2 时,-4x≤3,即x≥- 3 4 ,所 以- 3 4≤x≤- 1 2 ; 当- 1 2<x< 1 2 时,2≤3恒成立,所以 12 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年6月 - 1 2<x< 1 2 ; 当x≥ 1 2 时,4x≤3,即x≤ 3 4 ,所以1 2≤ x≤ 3 4 。 综上可得,不等式f(x)≤3的解集为 - 3 4 ,3 4 。 (2)已知f 3 2 = 3-1a +|3+a|< 6。 当a> 1 3 时,f 3 2 =6+a-1a<6,解得 1 3<a<1 ; 当0<a≤ 1 3 时,f 3 2 =a+1a<6,解得 3-22<a≤ 1 3 。 综上可得,a的取值范围为(3-22,1)。 点评:此类问题主要考查绝对值的性质, 含有绝对值不等式的解法,以及分类讨论思 想、数学运算能力等。涉及绝对值不等式的 求解问题,关键是充分理解绝对值的几何意 义,并能利用绝对值不等式的几何意义加以 转化,有时也通过函数、方程的相应知识来处 理对应的不等式问题。 二、不等式的证明问题 不等式的证明问题主要涉及分析法、综 合法与反证法的应用,以及绝对值三角不等 式、算术—几何平均不等式、柯西不等式等重 要不等式的应用等。 例 2 (2022届陕西省高三下学期二 模预测数学试题)设 x,y,z 为正实数,且 x+y+z=4。 (1)证明:xy+ xz≤22; (2)证明:(x-1)2+(y