07 合理构建坐标系,方程间转化应用--坐标系与参数方程-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学 刘秀军 坐标系与参数方程在高考中主要以解答 题的形式加以单独考查,此部分的高考考试 大纲要求是:了解坐标系的建立方法和原则, 体会在不同的坐标系中用有序实数组表示点 的位置,理解方程与图形、方程与方程的关 系,掌握简单的参数方程、极坐标方程和直角 坐标方程之间的互化,会从质点运动等实际 问题中抽象出数学问题,并建立模型求解质 点的参数(或极坐标)方程及解决简单的相关 问题。 一、极坐标方程及其应用问题 极坐标方程问题包括:理解极坐标系中 相关元素的概念与几何意义,极坐标方程的 基本概念与内涵,极坐标方程和直角坐标方 程之间的转化与应用等。 例 1 在平面直角坐标系xOy 中,已 知 曲 线 C1:x + y = 1 与 曲 线 C2: x=2+2cos φ, y=2sin φ (φ 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标 系。 (1)写出曲线C1,C2 的极坐标方程; (2)在极坐标系中,已知射线l:θ=α(ρ> 0),α∈ π4 ,π 2 ,若射线l与曲线C1,C2 的公 共点分别为 A,B,求|OA|·|OB|的最大 值。 分析:(1)直接利用转换关系,在参数方 程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换与应用;(2)利用极径的三角函数的变换和 正切函数的性质求出结果。 解:(1)已知曲线C1:x+y=1,将x= ρcos θ,y=ρsin θ,代入得曲线C1 的极坐标 方程为ρcos θ+ρsin θ-1=0。 曲线C2: x=2+2cos φ, y=2sin φ (φ为参数),转 换为直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,将 x=ρcos θ,y=ρsin θ,代入得曲线C2 的极坐 标方程为ρ=4cos θ。 (2)已 知 射 线 l:θ=α(ρ>0),α∈ π 4 ,π 2 ,若射线l与曲线C1,C2 的公共点分 别为 A,B,由 ρcos θ+ρsin θ=1, θ=α, 整理可得 ρA= 1 sin α+cos α ;由 ρ =4cos θ, θ=α, 整 理 可 得 ρB=4cos α。所以|OA|·|OB|=ρA·ρB= 4cos α sin α+cos α= 4 tan α+1 ,由于α∈ π4 ,π 2 , 而y=tan x 在区间 π4 ,π 2 上单调递增,所 以当α= π 4 时,|OA|·|OB|的最大值为2。 点评:解决极坐标方程问题的基本思路 是:①将极坐标方程与直角坐标方程相互转 化,得到对应点的直角坐标或极坐标,以及相 互之间的关系等;②将曲线的极坐标方程进 行合理联立,结合极径的几何意义及限制条 件求出极坐标,从而巧妙得解。此类极坐标 方程问题重点考查方程之间的转化,以及同 学们的数学运算能力、化归与转化能力等。 二、参数方程及其应用问题 参数方程问题包括:理解参数方程的基 本概念与参数的几何意义等,能熟练掌握相 应的直线、圆、圆锥曲线等所对应的参数方 程,以及参数方程与直角坐标方程之间的相 互转化,并会加以简单应用。 例 2 (创新题)在极坐标系中,圆C: ρ=4cos θ。以极点O 为坐标原点,极轴为x 91 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年6月 轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy,直线 l经过点M(-1,-33),且倾斜角为α。 (1)求圆C 的直角坐标方程和直线l的 参数方程; (2)已知直线l与圆C 交于A,B 两点, 满足A 为MB 的中点,求α。 分析:(1)根据圆C 的极坐标方程,结合 等价变换,利用直角坐标与极坐标之间的转 化公式得以确定圆C 的直角坐标方程;直接 利用题设条件确定相应的直线的参数方程。 (2)设出A,B 对应的参数,将直线l的参数 方程代入圆C 的直角坐标方程,构建关于参 数t的一元二次方程,结合韦达定理及参数 的几何意义,通过关系式的变形与转化得以 确定对应的三角函数关系式,结合直线倾斜 角的取值范围来确定与求解对应角即可。 解:(1)由圆 C:ρ=4cos θ,可得ρ2= 4ρcos θ,结合公式ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,可 得x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,故圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4。 结合题设,可得直线l 的参数方程为 x=-1+tcos α, y=-33+tsin α (t为参数,0≤α<π)。 (2)设A,B 对应的参数分别为tA,tB,将 直线l的参数方程代入圆C 的直角坐标方程 并整理得t2-6(3sin α+cos α)t+32=0, Δ=36