06 含有绝对值的不等式的性质及其应用-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■江苏省东台中学 戴向梅 含有绝对值的不等式的性质||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|是处理相关的含有绝 对值问题的一个重要工具,对于一些涉及绝 对值的不等式的求解、证明及应用等都有一 定的效能。 一、不等式的求解 例 1 (2022年陕西省宝鸡市高考数 学模拟试卷(三))已知函数f(x)=|x-1| +|2x-m|(m∈R)。 (1)若m=-1,求f(x)≤2的解集; (2)若f(x)≤|x+1|的解集包含[1, 2],求实数m 的取值范围。 解析:(1)若m=-1,则f(x)=|x-1| +|2x+1|≤2。 ①当x≤- 1 2 时,f(x)=1-x-2x-1 =-3x≤2,解得x≥- 2 3 ,所以- 2 3≤x≤ - 1 2 ; ②当- 1 2<x≤1 时,f(x)=1-x+2x+ 1=x+2≤2,解得x≤0,所以- 1 2<x≤0 ; ③当x>1时,f(x)=x-1+2x+1= 3x≤2,解得x≤ 2 3 ,此时无解。 综上可得,不等式f(x)≤2的解集为 - 2 3 ,0 。 (2)由题意可知,当x∈[1,2]时,不等式 f(x)≤|x+1|恒成立,即x-1+|2x-m| ≤x+1恒成立,即|2x-m|≤2恒成立,即 -2≤2x-m≤2恒成立,即2x-2≤m≤2x +2恒成立,解得2≤m≤4,所以实数m 的取 值范围为[2,4]。 点评:求解含有绝对值的不等式时,最常 用的方法就是零点分段法或分段函数法,借 助分离零点进行分类讨论,或借助分段函数 表示进行数形结合,都可以达到求解含有绝 对值的不等式的目的。涉及含有绝对值的不 等式的求解,也是选修中不等式选讲部分最 常考的基本题型之一。 二、不等式的证明 例 2 (2022年河南省大联考高考数 学三模试卷)已知函数f(x)=|x-4m|+ x+ 1 m (m∈R)。 (1)若 m=1,求不等式f(x)>7的解 集。 (2)证明:当m>1时,f(x)+ 1 m2-m ≥ 8。 解析:(1)若m=1,则f(x)=|x-4|+ |x+1|= -2x+3,x≤-1, 5,-1<x<4, 2x-3,x≥4。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 当x≤-1时,-2x+3>7,解得x< -2; 当-1<x<4时,5>7,显然不成立; 当x≥4时,2x-3>7,解得x>5。 综上可得,不等式f(x)>7的解集为 (-∞,-2)∪(5,+∞)。 (2)由于f(x)=|x-4m|+ x+ 1 m ≥ (x-4m)- x+ 1 m = 4m+1m ,而m> 1,可得 4m+ 1 m =4m+ 1 m ,结合基本不等 式可得f(x)+ 1 m2-m ≥4m+ 1 m+ 1 m2-m = 4m+ 1 m+ 1 m-1- 1 m=4m+ 1 m-1=4 (m- 1)+ 1 m-1+4≥2 4 (m-1)× 1 m-1+4= 8,当且仅当4(m-1)= 1 m-1 ,即m= 3 2 时, 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年6月 等号成立,故当m>1时,f(x)+ 1 m2-m ≥8 成立。 点评:证明含有绝对值的不等式,关键是 借助含有绝对值的不等式的性质加以正确放 缩处理,并结合不等式的性质、基本不等式或 柯西不等式等加以综合与应用。证明不等式 的常见方法与技巧往往渗透其中,起到引领 与连接的作用。 三、最值的确定 例 3 (2022年河南省新乡市高考数 学三模试卷)已知函数f(x)=|x-1|+ |x+2|。 (1)求不等式f(x)≤5的解集; (2)若f(x)的最小值为m2+2n2,证明: m2n2 2m2+n2 ≤ 1 3 。 解析:(1)由f(x)≤5,得|x-1|+|x+ 2|≤5。 当x≤-2时,由1-x-x-2≤5,得 x≥-3,所以-3≤x≤-2; 当-2<x<1时,由1-x+x+2≤5,得 3≤5,所以-2<x<1; 当x≥1时,由x-1+x+2≤5,得x≤ 2,所以1≤x≤2。 综上可得,不等式f(x)≤5的解集为 [-3,2]。 (2)由含有绝对值的不等式的性质可得 f(x)=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|= 3,所以f(x)的最小值m2+2n2=3。结合基 本不等式可得 2m2+n2 m2n2 = 2 n2 + 1 m2 = 1 3 ·(m2 +2n2) 2 n2 + 1 m2 =13 2m 2 n2 + 2n2 m2 +53 ≥ 1 3×2 2m2 n2 × 2n2 m2 + 5 3= 4 3+ 5 3=3 ,当且仅 当 2m2 n2 = 2n2 m2 ,即|m|=|n|时,等号成立,所 以 m2n2 2m2+n2 ≤ 1 3 。 点评:综合含有绝对值的不等式的性质, 可以很