内容正文:
义的灵活应用。
总之,在复习过程中,要正确理解核心概
念,熟练掌握基础知识与技能,注重思想和方
法的总结,强化参数方程中参数的几何意义,
极坐标中极径、极角的探究应用,学会与圆锥
曲线、三角函数等知识的有机整合,增强解决
坐标系与参数方程问题的信心和能力,从而
达到快速“破题”的效果。
注:本文系陕西省第四批基础教育教学名
师培养工作专项课题“‘三新’背景下农村薄弱
学校高中生数学运算素养培养的策略研究”的
阶段性研究成果。 (责任编辑 王福华)
■江苏省东台中学 王 琦
参数方程是《坐标系与参数方程》部分的
一个基本知识点,也是每年高考中该模块考
查的重点之一。参数方程涉及的曲线类型比
较多,主要是直线、椭圆、双曲线及一些其他
的曲线等,关键是合理变形与转化,与极坐标
方程、直角坐标方程等形成呼应并相互转化,
为进一步的综合与应用提供条件。
一、直线的参数方程
例 1 (2022~2023学年贵州省贵阳
市高三(上)摸底数学试卷(8月份))在平面
直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,
x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l
的参数方程为
x=1+
2
2t
,
y=
2
2t
(t为参数),曲线
C 的极坐标方程为ρ=4cos
θ。
(1)求直线l与曲线C 的普通方程;
(2)已知点 M 的直角坐标为(1,0),直线
l 与 曲 线 C 交 于 不 同 的 两 点 A,B,求
|MA|+|MB|的值。
解析:(1)由于曲线C 的极坐标方程为
ρ=4cos
θ,则ρ2=4ρcos
θ,将ρ2=x2+y2,
ρcos
θ=x,代入得x2+y2=4x,即曲线C 的
普通方程为
x2+y2-4x=0。
直线l的参数方程为
x=1+
2
2t
,
y=
2
2t
(t为
参数),消去参数t得直线l 的普通方程为
x-y-1=0。
(2)由
(1)知,点 M(1,0)在直线l:x-
y-1=0上,将直线l的参数方程代入曲线C
的 普 通 方 程 得 1+
2
2t
2
+ 2
2t
2
-
41+
2
2t =0,整理得t2-2t-3=0。设点
A,B 对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=2>
0,t1t2=-3<0,所以|MA|+|MB|=|t1|+
|t2|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2= 14。
点评:直线l:y-y0=(x-x0)tan
α 的
参数方程为
x=x0+tcos
α,
y=y0+tsin
α (t为参数,α 为
直线AB 的倾斜角),其中参数t的几何意义
是有向线段P0P 的数量(其中直线l上的定
点为P0(x0,y0))。经常根据直线参数方程
中相关参数的几何意义来直接转化与处理。
二、椭圆的参数方程
例 2 (2022~2023学年内蒙古包头
市高三(上)调研数学试卷)在平面直角坐标
系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正
半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的参数
方程为
x=3cos
θ,
y=3sin
θ (θ为参数),直线l的极
坐标方程为ρsin
α-2ρcos
α+a-1=0。
(1)当a=3时,求曲线C 与直线l的交
点的坐标;
(2)若曲线C 上的点到直线l的距离的
最大值为52,求实数a的值。
解析:(1)由曲线C 的参数方程,可得曲
线C 的普通方程为
x2
9+
y2
4=1
。当a=3时,
51
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2023年6月
直线l的普通方程为y-2x+2=0。联立
y-2x+2=0,
x2
9+
y2
4=1
, 解得 x=0,y=-2, 或
x=
9
5
,
y=
8
5
,
所
以曲线C 与直线l的交点坐标为(0,-2),
9
5
,8
5 。
(2)直线l的普通方程为y-2x+a-1
=0,故曲线C 上的点(3cos
θ,2sin
θ)到直线
l的 距 离 为d=
|2sin
θ-6cos
θ+a-1|
5
=
|2 10sin(θ-φ)+a-1|
5
,其中tan
φ=3。
当a≥1时,dmax=
2 10+a-1
5
=52,
解得a=1+3 10;
当a<1时,dmax=
2 10+1-a
5
=52,
解得a=1-3 10。
综上可得,a=1+3 10,或a=1-
3 10。
点评:椭圆x