04 例析坐标系与参数方程问题中的常见解题策略-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学 杨晓乾 坐标系与参数方程作为选做题,由于难 度不大,极易被考生选择。本题第一问考查 内容多为方程互化,第二问常利用参数方程 中参数的几何意义或极坐标方程中ρ,θ的几 何意义来解决问题,内容涉及距离、面积、弦 长、交点、轨迹等。本文例析坐标系与参数方 程问题中的常见解题策略,以求帮助同学们 找到“破题”入口,顺利解答。 一、利用参数的几何意义“破题” 例 1 在平面直角坐标系xOy 中,设 倾斜角为α 的直线l: x=2+tcos α, y= 3+tsin α (t为 参数)与曲线C: x=2cos θ, y=sin θ (θ为参数)相 交于不同的两点A,B。 (1)若α= π 3 ,求线段AB 的中点M 的直 角坐标; (2)若点P(2,3),求 PA + PB 的值。 解 析: (1) 当 α = π 3 时, 由 x=2+tcos α, y= 3+tsin α, 得 x=2+ 1 2t , y= 3+ 3 2t ; 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 由 x=2cos θ, y=sin θ, 得曲线C 的普通方程为x 2 4+y 2 =1。将直线l的参数方程代入曲线C 的普 通方程,整理得13t2+56t+48=0。由于Δ =640>0,所以t1+t2=- 56 13 ,t1t2= 48 13 ,所以 t1<0,t2<0。所以线段 AB 的中点 M 对应 的参数tM = t1+t2 2 =- 28 13 ,将其代入直线l 的参 数 方 程,即 得 中 点 M 的 直 角 坐 标 为 12 13 ,- 3 13 。 (2)考虑到点P(2,3)在直线l上,所以 由参数t 的几何意义可知,PA = t1 , PB = t2 ,又t1<0,t2<0,故 PA + PB = t1+t2 = 56 13 。 点评:一 般 地,遇 到 直 线 与 曲 线 交 于 两 点,常常是将直线参数方程的标准形式代入 曲线方程,得到关于t的一元二次方程,再结 合根与系数的关系及参数t 的几何意义求 解,属于常规题。当然本题也可将直线和曲 线的参数方程都化为普通方程来解决。 例 2 在平面直角坐标系xOy 中,直 线l的参数方程为 x=2+t, y=1+t (t为参数),以 坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建 立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ= 22cosθ+ π 4 。 (1)求曲线C 的直角坐标方程,并指出 其表示何种曲线; (2)设直线l与曲线C 交于A,B 两点, 线段AB 的中点为M,若点P 的直角坐标为 (2,1),求 |AB| |PM| 的值。 解析:(1)曲线C 的极坐标方程为ρ= 22cosθ+ π 4 ,根据 x=ρcos θ, y=ρsin θ, x2+y2=ρ2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 转换后得 直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=2,该曲 线是以(1,-1)为圆心,2为半径的圆。 (2)因为直线l的参数方程为 x=2+t, y=1+t (t为参数),所以直线l的参数方程可变为 x=2+ 2 2t' , y=1+ 2 2t' 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 (t'为参数),代入(x-1)2+ (y+1)2=2,整理得t'2+32t'+3=0,所以 21 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年6月 t1'+t2'=-3 2,t1't2'=3。所以|AB|= |t1'-t2'| = (t1'+t2')2-4t1't2' = 6, |PM|= t1'+t2' 2 = 32 2 。故|AB| |PM|= 23 3 。 点评:本题极易出错,在直线的参数方程 x=x0+at, y=y0+bt (t为参数)中,当参数t前的系 数满足b≥0,a2+b2=1时,直线的参数方程 才是标准的参数方程。 二、利用参数方程或极坐标方程巧设点 的坐标“破题” 例 3 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 x=2cos α, y=sin α (α为参数),以平面直角坐标系 的坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系。 (1)求曲线 C 上的点到直线x+2y- 2=0的距离的最大值; (2)设P,Q 是曲线C 上的两点,若OP ⊥OQ,求 |OP|2+|OQ|2 |OP|2·|OQ|2 的值。 解析:(1)根据题意设曲线C 上的点为 M(2cos α,sin α),则点M 到直线x+2y- 2 =0的距离为d= |2cos α+2sin α- 2| 1+(2)2 = 22cosα- π 4