03 突出关键能力 注重方法对策--坐标系与参数方程考向探析-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■陕西省汉中市西乡县第二中学 陈 刚 坐标系与参数方程为高考选考内容之 一,题量、考查难度都相对稳定。近几年高考 全国卷坐标系与参数方程考查的问题主要 有:极坐标方程、参数方程与普通方程的互 化;求曲线的轨迹方程;利用极坐标方程、参 数方程解决交点问题、距离问题、最值问题 等。试题分设两问,第一问考查内容多为极 坐标方程、参数方程与普通方程的互化或求 曲线的轨迹方程,第二问考查内容多为利用 参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中 极径和极角的几何意义解决问题,内容涉及 交点、距离、面积、弦长等问题。在解决此类 问题的过程中,需要注意数形结合、转化与化 归等数学思想的应用。整体来讲,考查难度 定位中等偏易,是考生容易突破的一道题目。 本文结合实例探析2023年高考全国卷坐标 系与参数方程的考向、常考题型及解题方法。 主要目的是帮助同学们把握高考脉搏,提高 复习备考效果和效率。 题型一、求曲线的极坐标方程 例 1 已知曲线C 的极坐标方程为ρ =4cos θ,θ∈ 0, π 4 ,点 M(ρ0,θ0),A(ρ1, 0),Bρ2, π 6 都在曲线C 上。 (1)当θ0= π 6 时,求直线 AM 的极坐标 方程。 (2)以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴 的正半轴,建立平面直角坐标系。当 M 在C 上运动时,求OM→·AB→ 的取值范围。 解析:(1)由曲线C 的极坐标方程易知 OM⊥AM,当θ0= π 6 时,ρ0=4cos π 6=23 , 即 M 23, π 6 。 设P(ρ,θ)是直线AM 上除M 外的任意 一点,在Rt△OMP 中,ρcosθ- π 6 =|OM| =2 3,经 检 验,点 M 23, π 6 也 满 足 ρcosθ- π 6 =23,所以直线AM 的极坐标 方程为ρcosθ- π 6 =23。 (2)将θ=0,θ= π 6 分别代入曲线C 的极 坐标方程,可得A(4,0),B 23, π 6 ,所对应 的直角坐标分别为A(4,0),B(3,3),所以 AB→= -1,3 ,曲线C 对应的参数方程为 x=2+2cos φ, y=2sin φ, φ∈ 0, π 2 。又因为OM→= 2+2cos φ,2sin φ ,所以OM →·AB→=-2- 2cos φ+23sin φ=-2+4sinφ- π 6 ,φ- π 6∈ - π 6 ,π 3 ,sinφ-π6 ∈ -12,32􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 , -2+4sinφ- π 6 ∈[-4,2 3-2],所以 OM→·AB→ 的取值范围为[-4,23-2]。 总结:求曲线的极坐标方程的一般步骤: (1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线 上任意一点。(2)由曲线上的点所满足的条 件,列出曲线上任意一点的极径ρ 和极角θ 之间的关系式。(3)将列出的关系式进行整 理、化简,得出曲线的极坐标方程。 题型二、极坐标方程、参数方程与普通方 程的互化 例 2 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 x=1+ 2t2 1-t2 , y= 2t 1-t2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (t为参数),曲线C2 的参数 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年6月 方程为 x=2(1+cos α), y=2sin α (α 为参数),以坐 标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立 极坐标系。 (1)求曲线C1 和曲线C2 的极坐标方程; (2)射线θ= π 6 与曲线C1 和曲线C2 分 别交于A,B 两点(异于极点),已知点P(4, 0),求△PAB 的面积。 解析:(1)由题意知曲线C1 的参数方程 为 x= 1+t2 1-t2 , y= 2t 1-t2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (t 为 参 数),所 以 x2 = 1+t2 1-t2 2 ,y2= 2t 1-t2 2 ,所以 x2-y2=1。 将 x=ρcos θ, y=ρsin θ, 代入整理得ρ2= 1 cos 2θ 。 将曲线C2 的参数方程 x=2+2cos α, y=2sin α (α 为参数),转换为普通方程为x2+y2= 4x,转换为极坐标方程为ρ=4cos θ。 (2)因为射线θ= π 6 与曲线C1 和曲线C2 分别交于点A,B,所以ρA= 1 1 2 = 2,ρB= 4cos π 6=2 3 ,所以|AB|=|ρA -ρB|= 23- 2,则△PAB 的面积为23- 2。 总结:(1)直角坐标方程与极坐标方程的 互化:如果将极坐标系的极点与直角坐标系 的原点重合,