02 聚焦核心素养 科学精确备考--不等式选讲备考建议-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■陕西省汉中中学 来丽娟 不等式选讲为高考选考内容之一,近几 年高考全国卷主要考查绝对值不等式的求 解、不等式证明的基本方法(比较法、综合法、 分析法等),以及根据给定条件求参数的取值 范围、用基本不等式研究代数式的最值等问 题,交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函 数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、 基本不等式等内容。随着新课标的实施,对 同学们的运算求解能力、分类讨论和数形结 合等数学思想方法的运用,以及逻辑推理、数 学运算等核心素养都有考查。难度中等偏 易,是同学们容易突破的一道题目。本文结 合实例,将从不等式选讲部分常考考向和解 题方法进行探析,希望能给同学们的复习备 考提供一定的帮助。 题型一、绝对值不等式的求解 例 1 已知函数f x = 2x+2 + 2x-4 。 (1)求不等式f x ≥3x+7的解集; (2)若 关 于 x 的 不 等 式 f x ≥ x-a 在R上恒成立,求实数a的取值范围。 解析:(1)若x>2,则(2x+2)+(2x- 4)≥3x+7,解得x≥9,此时x≥9;若-1≤x ≤2,则(2x+2)-(2x-4)≥3x+7,解得x ≤- 1 3 ,此时-1≤x≤- 1 3 ;若x<-1,则 -(2x+2)-(2x-4)≥3x+7,解得 x≤ - 5 7 ,此时x<-1。综上可得,所求不等式 的解集为 -∞,- 1 3 ∪ 9,+∞ 。 (2)f x = 4x-2,x>2, 6,-1≤x≤2, -4x+2,x<-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 其图像 如图1所示。 平移函数y= x-a 图像,当左移至图 图1 像过 点 A(2,6)时, a=-4; 当右移至图像过 点B(-1,6)时,a=5。 结 合 图 像 可 知, 实数a 的取值范围为 -4,5 。 总结:求解含绝对值不等式的常用方法: (1)平方法:对于形如 f(x)≥ g(x)的绝 对值不等式,可利用不等式两边平方的技巧, 直接去掉绝对值符号来求解,即 f(x)≥ g(x)⇔f2(x)≥g2(x)。(2)零点分段法: 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式, 可利用零点分段法脱去绝对值符号,将其转 化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 (组)求解。(3)几何法:利用绝对值的几何意 义,画出数轴,将绝对值问题转化为数轴上两 点之间的距离问题进行求解。(4)图像法:对 于形如 f(x)± g(x)≥a 的绝对值不等 式,可在同一平面直角坐标系中作出不等式 两边 所 对 应 的 两 个 函 数 y= f(x) ± g(x) 与y=a的图像,然后利用函数图像 求解。 题型二、不等式的证明问题 1.比较法证明不等式 例 2 已知函数f(x)=|2x+1|。 (1)求不等式f(x)<x+2的解集 M; (2)若a∉M,b∈M,证明:|1-ab|≤ |a-b|。 解析:(1)因为f(x)<x+2,即|2x+1| <x+2,所以 2x+1<x+2, -x-2<2x+1, 即-1<x< 1,故不等式的解集为 M={x -1<x<1}。 (2)因为a∉M,b∈M,所以a2≥1,b2<1, 所以|1-ab|2-|a-b|2=a2b2-a2-b2+1= 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年6月 a2-1 b2-1 ≤0,所以|1-ab|≤|a-b|。 总结:(1)作差法的依据:a-b>0⇔a> b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=b。(2)作 商法的依据:若a>0,b>0,则 a b>1⇔a>b ; a b<1⇔a<b ;a b=1⇔a=b 。 2.综合法证明不等式 例 3 已 知 不 等 式 a+b+c≥ x+1 - x+2 对任意的x∈R恒成立。 (1)求证:a2+b2+c2≥ 1 3 ; (2)求 证: a2+b2 + b2+c2 + c2+a2≥ 2。 证明:(1)因为a+b+c≥ x+1 - x+2 对 任 意 的 x∈R 恒 成 立,又 因 为 x+1 - x+2 ≤ x+1 - x+2 = 1,所以a+b+c≥1。由基本不等式可得a2 +b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以 a+b+c 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ≤3a2+b2+c2 ,所 以 3 a2+b2+c2 ≥ a+b+c 2≥1,所以a2+b2+c2≥ 1 3 。 (2)因 为 a2 +b2 ≥2ab,所 以 2· a2+b2 ≥ a+b 2,所以 a2+b2 ≥ 2 2 · a+b 。同理可得, b2+c2 ≥ 2 2 b+c , c2+a2 ≥ 2 2 c+a 。所 以 a2+b2 + b2+c2 + c