01 绝对值不等式中求参数范围问题的常见题型及分类解析-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■陕西省汉中市四〇五学校 侯有岐 绝对值函数和绝对值不等式是《不等式选 讲》中的重要内容,也是高考数学选考题中常 考的对象。绝对值不等式中求参数范围的题 目,通常与基本不等式、绝对值三角不等式、柯 西不等式等知识点相结合。这类题型有助于 考查同学们的推理能力、探索能力和批判性思 维能力,也有利于培养同学们的创新意识和综 合素质,具有一定的区分度,深受命题者的青 睐。本文对绝对值不等式中求参数范围问题 的常见题型进行分类解析,供读者参考。 一、利用绝对值三角不等式求参数范围 例 1 设函数 f(x)=|2x-1|- |a-1|(a∈R)。 (1)当a=-1时,求不等式 f(x)> |x+1|的解集; (2)若 存 在 x0 使 得 不 等 式 f(x0)> 2|x0+1|成立,求实数a的取值范围。 解析:(1)若a=-1,则不等式f(x)> |x+1|⇒|2x-1|-2>|x+1|。 当x<-1时,不等式化为-2x+1-2 >-x-1,解得x<0,所以x<-1; 当-1≤x< 1 2 时,不等式化为-2x+1 -2>x+1,解得x<- 2 3 ,所以-1≤x< - 2 3 ; 当x≥ 1 2 时,不等式化为2x-1-2> x+1,解得x>4,所以x>4。 综上可得,不等式f(x)>|x+1|的解 集为 -∞,- 2 3 ∪(4,+∞)。 (2)不等式f(x0)>2|x0+1|⇒|a-1| <|2x0-1|-2|x0+1|。因为存在x0 使得 不等式f(x0)>2|x0+1|成立,则存在x0 使 得不等式|a-1|<|2x0-1|-2|x0+1|成 立,而|2x0-1|-2|x0+1|=|2x0-1|- |2x0+2|≤|(2x0-1)-(2x0+2)|=3,当且 仅当|2x0-1|≥|2x0+2|,且(2x0-1)(2x0 +2)≥0,即 x0≤-1时,等号成立。 因此|a-1|<3,解得-2<a<4。 所以实数a的取值范围为(-2,4)。 点评:绝对值三角不等式 a - b ≤ a+b ≤ a + b (左侧当且仅当ab≤0 时,等号成立;右侧当且仅当ab≥0时,等号 成 立 )和 a - b ≤ a-b ≤ a + b (左侧当且仅当ab≥0时,等号成立;右 侧当且仅当ab≤0时,等号成立),故对y= ax+m ± ax+n 形式的函数的最值可以 用绝对值三角不等式求解。 二、利用零点分段法及数形结合求参数 范围 例 2 设函数f(x)=|x-2|+|x+1|。 (1)求f(x)的最小值及取得最小值时x 的取值范围; (2)若集合{x|f(x)+ax-1>0}=R, 求实数a的取值范围。 解析:(1)函数f(x)=|x-2|+|x+1| 可化为f(x)= -2x+1,x<-1, 3,-1≤x≤2, 2x-1,x>2。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 当x<-1时,f(x)=-2x+1>3;当x >2时,f(x)=2x-1>3。所以f(x)的最 小值为3,且f(x)取得最小值时x 的取值范 图1 围为[-1,2]。 (2)因为{x|f(x)+ax- 1>0}=R,所以对任意的x∈ R,f(x)>-ax+1恒成立。 令g(x)=-ax+1,其图 像为过点P(0,1),斜率为-a 的一条直线,如图1所示。 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年6月 由(1)知A(2,3),B(-1,3),则直线PA 的斜率k1= 3-1 2-0=1 ,直线PB 的斜率k2= 3-1 -1-0=-2 。 因为f(x)>g(x),所以-2<-a<1, 即-1<a<2。 所以实数a的取值范围为(-1,2)。 点 评:对 于 函 数 f(x)= ax-m ± bx-n ,可利用零点分段法,将绝对值函数 转化为分段函数。若是求最值,可考虑单调性 求最值,或求出各分段上的最值,再通过比较 得出函数最值。f(x)≥g(x)有解问题或恒成 立问题,可转化为函数图像的位置关系问题, 通过数形结合求出临界值,从而得参数范围。 三、利用绝对值三角不等式与基本不等 式求参数范围 例 3 已知f(x)=|x-1|+|x+a|。 (1)当a=2时,求y=f(x)与y=6所 围成的封闭图形的面积; (2)若对于任意的x∈R,都存在y∈ (1,+∞),使得(y-1)f(x)≥y2+3成立, 求a的取值范围。 图2 解析:(1)若a=2,则 f(x)=|x-1|+|x+2| = -2x-1,x≤-2, 3,-2<x<1, 2x+1,x≥1。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 分别画出y=f(x) 与y=6的图像,如图2 所示。当f(x)=6时,有 x=-3.5或x=2.5,由图像可得,围成的封 闭图形为