15 极坐标系解题的优劣之小议&关于不等式选讲中一道模拟题的多种解法探究-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■四川省绵阳实验高级中学 李小侠 在整个高中数学知识的学习中,极坐标 虽然作为高考的选考内容之一,但是由于它 相对比较简单,因此,在考试时很多同学都会 选择极坐标一题。本文就极坐标的作用及优 劣势做一些总结,以便同学们在学习和考试 中能少走些弯路。 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 例 1 已知极坐标系的极点与平面直 角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的非负半 轴重合,在极坐标系中,若直线l的极坐标方 程为ρcosθ- π 6 = 3。 (1)求直线l的直角坐标方程; (2)已知 P 为椭圆C:x2+y 2 3=1 上一 点,求点P 到直线l的距离的最小值。 解析:(1)由ρcosθ- π 6 = 3,展开整 理得 3 2ρcos θ+ 1 2ρsin θ= 3,因 为 x= ρcos θ,y=ρsin θ,所以直线l的直角坐标方 程为 3 2x+ 1 2y= 3 ,即 3x+y-23=0。 (2)由题意可设P cos α,3sin α ,所以 点 P 到 直 线 l 的 距 离 d = 3cos α+ 3sin α-23 2 = 6sinα+ π 4 -23 2 ,故当sinα+ π 4 = -1时,dmax= 6+23 2 。 评注:对于同学们来说,只要把平面直角 坐标和极坐标互化的公式记住,一般情况下, 解答知一求另一的题目都不成问题。 二、求两条曲线的交点问题,直角坐标与 极坐标的优劣对比 例 2 在平面直角坐标系xOy 中,曲 线C1 的参数方程为 x=tcos α, y=tsin α (t为参数, t≠0),其中0≤α<π。以坐标原点 O 为极 点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线C2:ρ=2sin θ,曲线C3:ρ=23cos θ。 (1)求曲线C2 与曲线C3 交点的直角坐 标; (2)若曲线C2 与曲线C1 交于点A,曲线 C3 与曲线C1 交于点B,求 AB 的最大值。 解析:(1)法一:先将曲线C2 与曲线C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,联立方程, 解出交点坐标即可。 将ρ2=x2+y2 ,ρcos θ=x ,ρsin θ=y, 代入曲线C2,C3 的极坐标方程,得曲线C2 的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3 的直角坐标方程为x2+y2-23x=0。联 立 x2+y2-2y=0, x2+y2-23x=0, 解 得 x=0, y=0, 或 x= 3 2 , y= 3 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以曲线C2 与曲线C3 交点的直 角坐标为(0,0)和 3 2 ,3 2 。 法二:可以直接联立曲线C2 与曲线C3 的极坐标方程,解出交点的极坐标形式,然后 化为直角坐标即可。 联立 ρ=2sin θ, ρ=23cos θ, 解得 ρ= 3, θ= π 3 , 在极坐 图1 标系中画出两条曲线 的图像,如图1所示, 发现两条曲线的交点 在第一象限,因此,极 角取 π 3 (极角的范围一 般取[0,2π)),由图像 93 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年6月 知,它们还有一个交点是极点(0,0),所以用 极坐标联立求解就很容易漏解或增解,因此, 需通过图像进行补漏,所以两条曲线的交点 的极坐标为(0,0)和 3, π 3 ,化为直角坐标 为(0,0)和 3 2 ,3 2 。 (2)将曲线C1 化为极坐标方程,分别与 曲线C2,C3 的极坐标方程联立,解出点A,B 的极坐标,利用两点间的距离公式进行计算, 结合三角函数的辅助角公式化简得最大值。 曲线C1 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R, ρ≠0),其中0≤α<π,与曲线C2,C3 的极坐 标方程联立,得点A 的极坐标为(2sin α,α), 点B 的极坐标为(23cos α,α),所以|AB| =|2sin α-23cos α|=4sinα- π 3 ,当 α= 5π 6 时,AB 取得最大值4。 评注:通过该题我们不难发现,如果题目 告诉的全是极坐标方程,求的也是极坐标方 程,那么我们用极坐标方程联立求解即可,比 化成直角坐标方程求解后再化回来要简单得 多。如果告诉的是极坐标方程,求的是直角 坐标方程,那么我们从一开始就化成直角坐 标方程进行联立求解,一是大多数同学比较 熟悉直角坐标方程,二是可以避免出现漏解 或增解的问题。但无论采取哪种方法求解, 都必须注意范围限制,必要时可以依赖图形 避免失误。 例 3 已知曲线C1:ρcos θ=3,C2:ρ= 4cos θ,其中ρ≥0,0≤θ< π 2 ,求曲线C1,C2 交点的极坐标。 解