14 不等式选讲常见典形考题赏析-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■河南省商丘市实验中学 马春林 不等式选讲是高中数学的重要内容,也 是高考的必考点。高考对不等式选讲内容的 考查主要有两个方面:一是考查不等式,特别 是含有绝对值的不等式的求解,以及最值、恒 成立及存在性问题;二是考查不等式的证明。 下面主要介绍不等式选讲中的常见典型考 题,供大家复习时参考。 一、含绝对值的函数的图像 例 1 已知函数f(x)=|2x-1|, g(x)=5ax-2,a∈R。 (1)当a= 1 2 时,在同一直角坐标系中画 出函数f x 与g x 的图像,并根据图像间 的关系直接写出不等式f x >g x 的解 集。 (2)若存在x∈[-5,5],使得g(x-2) >f(x)成立,求实数a的取值范围。 解析:(1)当a= 1 2 时, g x = 5 2x-2 。 f x = 2x-1 = 2x-1,x≥ 1 2 , 1-2x,x< 1 2 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 在同一直角坐标系中画出函数f x 与 图1 g x 的图像,如图1所示。 令2x-1= 5 2x-2 ,解 得x=2。 由 图 可 知,当 x<2 时,函数f x 的图像在函 数g x 的图像的上方,故 不等式f x >g x 的解集为 -∞,2 。 (2)由g x-2 =5a(x-2)-2可知, g x-2 的图像恒过点 2,-2 。 当a=0时,结合(1)知,g x-2 的图像 恒在f x 的图像的下方,不满足题意。 当a>0时,由g5-2 >f 5 ,得15a -2>9,解得a> 11 15 。 当a<0时,由 g 1 2-2 >f 12 ,得 - 15 2a-2>0 ,解得a<- 4 15 。 综 上 可 得,实 数 a 的 取 值 范 围 为 -∞,- 4 15 ∪ 1115,+∞ 。 评注:要想画出含有一个绝对值符号的 函数的图像,常常采用找零点去绝对值符号 分情况讨论的方法,也可以采用翻折的方法。 对于字母和参数,往往需要分情况讨论。 例 2 已知函数 f x = x+1 - x-2 ,x∈R。 (1)画出函数y=f x 的图像,若函数 g x =x+m 与y=f x 的图像有三个交 点,求实数m 的取值范围; (2)已知函数f x 的最大值为n,正实 数a,b,c 满足 1 a+c+ 2 b+c=n ,求证:a+ 2b+3c≥3。 解析:(1)f x = x+1 - x-2 = -3,x<-1, 2x-1,-1≤x≤2, 3,x>2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 函数f x 的图像如图2 图2 所示。 g x =x+m 可以看 做是函数y=x 向上平移 m 个单位的图像所对应的 解析 式,结 合 图 像 易 知, -2<m<1,故实数 m 的 取值范围为 -2,1 。 (2)由(1)知n=3,所以 1 a+c+ 2 b+c=3 。 因为a,b,c>0,a+2b+3c=a+c+ 2(b+c),所 以 a + 2b + 3c = 1 3 · 63 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年6月 a+c +2b+c 1 a+c+ 2 b+c = 13 · 5+ 2a+c b+c + 2b+c a+c ≥ 13 · 5+2 2a+c b+c ·2b+c a+c 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 =3,当且仅当 a+c=b+c=1时,等号成立。 评注:在用基本不等式求最值或者证明 问题时,常常采用“1”的整体代入法,但要特 别注意等号成立的条件。 二、恒成立问题 例 3 已知函数 f x = 2x-m , x∈R。 (1)当 m >0 时,解 不 等 式 f x > x+1 ; (2)若对任意的 x∈ -1,2 ,不等式 f x ≥x-1恒成立,求实数m 的取值范围。 解析:(1)不等式f x > x+1 等价于 2x-m 2> x+1 2⇒3x2- 4m+2 x+ m2-1>0⇒[x-(m+1)][3x-(m-1)]> 0。 因为m>0,所以m+1> m-1 3 ,所以上 述不等式的解为x>m+1,或x< m-1 3 。 所以不等式f(x)>|x+1|的解集为 x x>m+1,或x< m-1 3 。 (2)当x∈ -1,1 时,x-1≤0,不等式 恒成立。 所以 只 需 满 足 ∀x∈ 1,2 ,不 等 式 2x-m 2 ≥ x-1 2 恒 成 立 ⇒3x2 - 4m-2 x+m2-1≥0在 1,2 上恒成立。 令g x =3x2- 4m-2 x+m2-1,则 g x ≥ 0 在 1,2 上 恒 成 立,则 有 2m-1