内容正文:
当且仅当a=b=c时,等号成立。
(2)柯西不等式:(a21 +
a22 +…+
a2n)·
(b21 +
b22 +
…+
b2n)≥(a1b1 +
a2b2 +…+
anbn)2
,当且仅当a1
b1
=
a2
b2
=…=
an
bn
时,等号成
立。
例 4 已知a,b,c均为正数,且4a2+
b2+16c2=1,证明:
(1)2a+b+4c≤ 3;
(2)
1
4a2
+
1
b2
+
1
16c2
≥9。
证明:(1)由柯西不等式得3=(4a2+
b2+16c2)(12+12+12)≥(2a+b+4c)2,即
2a+b+4c≤ 3,当且仅当2a=b=4c=
3
3
时,等号成立。
(2)由柯西不等式得
1
4a2
+
1
b2
+
1
16c2
=
(4a2 + b2 + 16c2 )
1
4a2
+
1
b2
+
1
16c2 ≥
4a2
4a2
+
b2
b2
+
16c2
16c2
2
=9,当且仅当2a
=b=4c=
3
3
时,等号成立。
评注:利用常见不等式(如均值不等式和
柯西不等式)求代数式的最值,需要寻找合适
的模型,再将式子向定值放缩(消元),最后还
要验证等号成立的条件。
不等式选讲是高考选考内容之一,考查
运算求解能力、变形能力、数形结合能力、逻
辑推理能力等,命题时通常将绝对值不等式
与函数或恒成立等问题进行交汇,复习时应
注重数形结合与转化化归思想方法的灵活应
用,题目虽然难度不大,但需要同学们能利用
上述考向快速熟练地解决问题,希望同学们
在复习备考时多加注意。
(责任编辑 王福华)
■四川省绵阳实验高级中学 冯 欢
参数方程是高中阶段的选修内容,在考
题中常聚焦于直线与圆锥曲线的参数方程,
参数方程与普通方程的互化,以参数方程为
载体考查直线与圆锥曲线的位置关系,进一
步研究最值、范围等问题。这些是命题的焦
点,但是试题难度均不大。若将参数方程灵
活地应用于圆锥曲线中,则会大大降低解题
难度,拓宽解题思路。下面结合最新模拟试
题介绍参数方程在解题中的应用,仅供复习
参考。
一、以参数方程为载体的圆锥曲线的几
何问题
例 1 (多选题)已知椭圆C:x
2
16+
y2
9=
1上有一点P,F1,F2 分别为椭圆C 的左焦
点和右焦点,∠F1PF2=θ,△PF1F2 的面积
为S,则下列选项正确的是( )。
A.若θ=60°,则S=33
B.若S=9,则θ=90°
C.若△PF1F2 为钝角三角形,则 S∈
0,
97
4
D.椭圆 C 内接矩形的周长的范围是
12,20
解析:对于椭圆x
2
a2
+y
2
b2
=1(a>b>0),
设 PF1 =r1,PF2 =r2,∠F1PF2=θ,则
r1 +
r2 =
2a,
4c2
=
r21 +
r22-2r1r2cos
θ, 由 此 可 得 r1r2
=
2b2
1+cos
θ ①
。所以△PF1F2 的面积S=
1
2r1r2sin
θ=
1
2
· 2b
2
1+cos
θ
·sin
θ=b2·
sin
θ
1+cos
θ=b
2tan
θ
2
。对 于 选 项 A:若θ=
60°,则S=9tan
30°=33,所以A正确。对
33
解题篇 经典题突破方法
高考数学 2023年6月
于选项B:由①知
2b2
1+cos
θ=r1r2≤
r1+r2
2
2
=a2(当且仅当r1=r2,即 P 是短轴端点时
取等号),所以cos
θ≥
2b2
a2
-1=
1
8
,因此θ不
可能是90°,所以B错误。对于选项C:由以
上分析可知,θ不可能是钝角,由对称性不妨
设∠PF1F2 是钝角。先考虑临界情况,当
∠PF1F2=90°时,易得 yP =
9
4
,此时S=
1
2 F1F2
· yP =c· yP =
97
4
,当
∠PF1F2 是钝角时,0<S<
97
4
,所以C正
确。对于选项D:令
x=4cos
α,
y=3sin
α, α∈ 0,π2 ,
则椭圆内接矩形的周长为4(3sin
α+4cos
α)
=20sinα+φ ,其中锐角φ 满足sin
φ=
4
5
,
cos
φ=
3
5
。由 α∈ 0,
π
2 ,得 α+φ∈
φ,
π
2+φ ,所以椭圆内接矩形的周长的范
围是 20sin π2+φ ,20sinπ2 ,即 12,20 ,
所以D正确。故选AC