12 不等式选讲考向分析-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■四川省绵阳实验高级中学 余 强 纵观近几年高考,不等式选讲这部分内 容的试题难度中等,常考内容为:绝对值不等 式的求解;应用绝对值三角不等式求最大或 最小值;证明不等式;三元均值不等式及柯西 不等式的应用等。预计2023年高考仍会延 续题型灵活、难度中等的趋势,同学们只需掌 握本部分内容的主要考向,并在此基础上适 当拓展即可。 考向一、绝对值不等式的求解与绝对值 三角不等式 1.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c >0)型的不等式,直接转化求解,即|ax+b| ≤c⇔-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c⇔ax+b ≤-c,或ax+b≥c。 (2)|ax+b|≤|cx+d|和|ax+b|≥ |cx+d|型的绝对值不等式,可以利用两边 平方的方法,去掉绝对值转化成一元二次不 等式后再求解即可。 (3)一般形式的不等式,例如|x-a|+ |x-b|≥cc>0 和 |x-a|+|x-b|≤c c>0 型的不等式,可以利用零点分段法、几 何法、数形结合法求解。 2.绝对值三角不等式:||a|-|b||≤ |a+b|≤|a|+|b| (1)|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0 时,等号成立。 (2)||a|-|b||≤|a+b|,当且仅当ab ≤0时,等号成立。 (3)推论:|a-b|+|b-c|≥|a-c|,此 性质可用于求含绝对值函数的最小值,其中, 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。 例 1 已知函数f(x)=|2x-6|- |3x-6|。 (1)求不等式f(x)>1的解集; (2)若不等式f(x)≤k|x|恒成立,求实 数k的取值范围。 解析:(1)f x = 2x-6 - 3x-6 = x,x<2, -5x+12,2≤x≤3, -x,x>3。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 当x<2时,x>1,所以1<x<2; 当2≤x≤3时,-5x+12>1,解得x< 11 5 ,所以2≤x< 11 5 ; 当x>3时,-x>1,解得x<-1,此时 无解。 综上可得,不等式f x >1的解集为 1, 11 5 。 (2)当x=0时,f(x)≤k|x|显然成立。 当x≠0时,已 知 不 等 式 可 化 为 k≥ f x x = 2x-6 - 3x-6 x = 2- 6 x - 3- 6 x 。令g x = 2- 6 x - 3- 6 x ≤ 2- 6 x-3+ 6 x =1 ,当且仅当0<x≤2时, 等号成立,所以k≥1。 故实数k的取值范围为 1,+∞ 。 评注:解含有绝对值的不等式的常用方 法有公式法、平方法、零点分段法、数形结合 法等,对于不同类型的题目,应当选择不同的 方法。在使用绝对值三角不等式时,要注意 不等式的取等条件。 考向二、证明不等式 证明不等式的两种主要方法: (1)比较法:比较法是证明不等式最基本 的方法,主要有作差比较和作商比较两种。 (2)综合法和分析法:利用某些已经证明 成立的不等式和不等式的性质,推导出所要证 13 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年6月 明的不等式,这种方法叫综合法。证明不等式 时,可以从求证的不等式出发,分析使这个不 等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判 定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯 定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定 原不等式成立,这种方法叫分析法。 例 2 已知a,b为正实数。 (1)证明:2a3+a2≤2a4+1; (2)若a2+b2=4-2ab,证明: 1 a+3b+ 2 2a+b≥ 9 10 。 证明:(1)2a3+a2-2a4-1=2a3(1-a) +(a+1)(a-1)=(-2a3+a+1)(a-1)= (1-a3+a-a3)(a-1)=[(1-a)(1+a+ a2)+a(1-a)(1+a)](a-1)=(1-a)(1+ 2a+2a2)(a-1)=-(1+2a+2a2)(a-1)2 =- 2a+ 1 2 2 + 1 2 (a-1)2。因为a>0, 所以 a-1 2≥0,当且仅当a=1时,等号成 立。又2a+ 1 2 2 + 1 2≥ 1 2 ,所以2a3+a2- 2a4-1≤0,即2a3+a2≤2a4+1。 (2)因为a>0,b>0,a2+b2=4-2ab, 即 a+b 2=4,所以a+b=2, 所以 1 a+3b+ 2 2a+b= 1 a+b+2b+ 2 a+a+b= 1 2+2b+ 2 a+2 = 1 2 · 1 1+b + 2 a+2 = 1 5 · 1 2 · 1 1+b+ 2 a+2 a+2+b+1 = 15 · 1 2 ·a+2 1+b+ 2b+1 a+2 + 5 2 ≥